Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações em coordenadas polares:
e
Queremos achar a área que está fora do gráfico da primeira equação e dentro do gráfico da segunda. Para resolver isso, vamos precisar desenhar os gráficos dessas funções, encontrar os pontos de interseção e calcular a área entre eles usando integrais.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Agora, encontramos os valores de
que satisfazem essa equação. Sabemos que ocorre em dois pontos no intervalo de
a
: e .
Passo 3
Com os pontos de interseção definidos, vamos determinar quais curvas estão acima ou abaixo no intervalo determinado. Observando as equações:
Para , será maior que . Portanto, a área que queremos calcular está entre essas duas curvas onde está acima de .
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas. A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas
e
de
a
é:
Substituindo e , e os limites de integração encontrados no Passo 2, configuramos a integral para calcular a área desejada.
Resposta
A área procurada é dada por:
Após resolver a integral, encontramos o valor da área desejada.
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Calcule:
u)
Respostas: a) , b)
, c)
, d) 0 , e)
, f)
, g)
, h) 0 , i)
, j) 2 , k)
, l)
, n) 8 , o)
, p)
, q)
, r)
, s)
, t)
, u) 0
u)
Respostas: a)
Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
.
(a) calcule a integral
(a)
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
© Por que podemos concluir que