Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
rho = 1 - sen(theta) e rho = 3 sen(theta).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações em coordenadas polares:
e
Queremos achar a área que está fora do gráfico da primeira equação e dentro do gráfico da segunda. Para resolver isso, vamos precisar desenhar os gráficos dessas funções, encontrar os pontos de interseção e calcular a área entre eles usando integrais.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Agora, encontramos os valores de que satisfazem essa equação. Sabemos que ocorre em dois pontos no intervalo de a : e .

Passo 3

Com os pontos de interseção definidos, vamos determinar quais curvas estão acima ou abaixo no intervalo determinado. Observando as equações:
Para , será maior que . Portanto, a área que queremos calcular está entre essas duas curvas onde está acima de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas. A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas e de a é:
Substituindo e , e os limites de integração encontrados no Passo 2, configuramos a integral para calcular a área desejada.

Resposta

A área procurada é dada por:
Após resolver a integral, encontramos o valor da área desejada.

Exercícios relacionados

Calcule:
u) integral-5^5(x^2 cdot tg x) d x
Respostas: a) -85 / 2, b) tg 5 x / 5+C, c) e^8-14 e^12, d) 0 , e) 53 / 2, f) ln 10 cdot ln |log 10 x|, g) sen 6 x6+C, h) 0 , i) 2596, j) 2 , k) 40514, l) -cossec x+C, m) 5 arctc x+C, n) 8 , o) 1+pi4, p) 2 raiz5, q) 25613, r) pi(4, s) sen 6 x6, t) 5^x e^x1+ln 5, u) 0
Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 4 cos(theta).
Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 2 cos(theta).
Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi].
(a) Por(2.16), ^64 calcule a integral
ointgamma e^zz d z
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t)+i sen(sen t)) d t=2 pi
© Por que podemos concluir que
integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) d t=2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) d t=0 ?