Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 4 cos(theta).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de coordenadas polares! A gente precisa traçar o gráfico da equação . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como diferentes valores de theta e rho influenciam o desenho do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas que usam (x, y), as polares usam , onde rho é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Isso é muito útil para desenhar curvas que são naturalmente circulares ou angulares.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação . Essa é uma equação de limaçon, que é um tipo de curva polar. Dependendo dos valores de a e b na forma geral , podemos ter diferentes formas, como limaçons com ou sem loop, ou cardioides.

Passo 4

Para desenhar o gráfico, vamos calcular alguns pontos chave para diferentes valores de theta. Vamos usar , pi / 2, pi, e .
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :

Passo 5

Vamos interpretar esses valores:
  • Para e , . Isso significa que o ponto está a 6 unidades da origem no eixo positivo x.
  • Para e , . Esses pontos estão a 2 unidades acima e abaixo da origem no eixo y.
  • Para , . Um valor negativo de rho significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado, ou seja, a 2 unidades na direção de .

Passo 6

Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. No ângulo 0, marque um ponto a 6 unidades da origem.
  2. No ângulo pi / 2, marque um ponto a 2 unidades acima da origem.
  3. No ângulo pi, como , marque um ponto a 2 unidades no sentido de 0 novamente.
  4. No ângulo , marque um ponto a 2 unidades abaixo da origem.
  5. Finalmente, no ângulo , volte ao ponto a 6 unidades da origem.
Ligando esses pontos suavemente, você perceberá que a curva forma um limaçon com um laço interno. O laço ocorre porque o coeficiente de cos(theta) (que é 4) é maior que o termo constante (que é 2), criando uma forma que se dobra sobre si mesma.

Resposta

O gráfico da equação em coordenadas polares é um limaçon com um laço interno, caracterizado por uma curva que se dobra em torno da origem, formando um loop.

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