Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de coordenadas polares! A gente precisa traçar o gráfico da equação
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como diferentes valores de
e
influenciam o desenho do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas que usam (x, y), as polares usam
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Isso é muito útil para desenhar curvas que são naturalmente circulares ou angulares.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação
. Essa é uma equação de limaçon, que é um tipo de curva polar. Dependendo dos valores de
e
na forma geral
, podemos ter diferentes formas, como limaçons com ou sem loop, ou cardioides.
Passo 4
Para desenhar o gráfico, vamos calcular alguns pontos chave para diferentes valores de
. Vamos usar
,
,
,
e
.
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 5
Vamos interpretar esses valores:
- Para
e , . Isso significa que o ponto está a 6 unidades da origem no eixo positivo x. - Para
e , . Esses pontos estão a 2 unidades acima e abaixo da origem no eixo y. - Para
, . Um valor negativo de significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado, ou seja, a 2 unidades na direção de .
Passo 6
Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico:
- No ângulo
, marque um ponto a 6 unidades da origem. - No ângulo
, marque um ponto a 2 unidades acima da origem. - No ângulo
, como , marque um ponto a 2 unidades no sentido de novamente. - No ângulo
, marque um ponto a 2 unidades abaixo da origem. - Finalmente, no ângulo
, volte ao ponto a 6 unidades da origem.
Ligando esses pontos suavemente, você perceberá que a curva forma um limaçon com um laço interno. O laço ocorre porque o coeficiente de
(que é 4) é maior que o termo constante (que é 2), criando uma forma que se dobra sobre si mesma.
Resposta
O gráfico da equação
em coordenadas polares é um limaçon com um laço interno, caracterizado por uma curva que se dobra em torno da origem, formando um loop.
Exercícios relacionados
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Calcule:
u)
Respostas: a) , b)
, c)
, d) 0 , e)
, f)
, g)
, h) 0 , i)
, j) 2 , k)
, l)
, n) 8 , o)
, p)
, q)
, r)
, s)
, t)
, u) 0
u)
Respostas: a)
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.