Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 2 cos(theta).

Passo 1

E aí! Vamos resolver o exercício de coordenadas polares. A gente precisa traçar o gráfico da equação . Para isso, vamos usar conceitos básicos de coordenadas polares e entender como diferentes equações se traduzem em desenhos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da equação. Aqui, temos . Essa é uma equação que lembra a forma geral , onde “a” e “b” são constantes.

Passo 3

Sabemos que quando , a equação gera um tipo especial de curva chamada cardioide. No nosso caso, e , então vamos estar lidando com um cardioide.

Passo 4

Um cardioide é uma curva em forma de coração. Para desenhá-lo, vamos analisar alguns pontos chave:
  • Ponto mais próximo do centro (polo): Quando , .
  • Ponto mais distante do centro: Quando , .
  • Simetria: A curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo horizontal).

Passo 5

Com essas informações, começamos a traçar o gráfico:
  1. Comece no polo (centro), já que quando , .
  2. Quando , a distância é 4 unidades para a direita do polo.
  3. À medida que theta varia de 0 a , a curva vai formando uma forma arredondada, voltando ao polo e criando a característica forma de coração do cardioide.

Resposta

O gráfico da equação em coordenadas polares é um cardioide simétrico em relação ao eixo polar, com ponto mais distante a 4 unidades do polo na direção de e retornando ao polo quando .

Exercícios relacionados

Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
rho = 1 - sen(theta) e rho = 3 sen(theta).
Calcule:
u) integral-5^5(x^2 cdot tg x) d x
Respostas: a) -85 / 2, b) tg 5 x / 5+C, c) e^8-14 e^12, d) 0 , e) 53 / 2, f) ln 10 cdot ln |log 10 x|, g) sen 6 x6+C, h) 0 , i) 2596, j) 2 , k) 40514, l) -cossec x+C, m) 5 arctc x+C, n) 8 , o) 1+pi4, p) 2 raiz5, q) 25613, r) pi(4, s) sen 6 x6, t) 5^x e^x1+ln 5, u) 0
Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi].
(a) Por(2.16), ^64 calcule a integral
ointgamma e^zz d z
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t)+i sen(sen t)) d t=2 pi
© Por que podemos concluir que
integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) d t=2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) d t=0 ?
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x + 2 com 1 <= x <= 3.