Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver o exercício de coordenadas polares. A gente precisa traçar o gráfico da equação
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de coordenadas polares e entender como diferentes equações se traduzem em desenhos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da equação. Aqui, temos
. Essa é uma equação que lembra a forma geral
, onde “a” e “b” são constantes.
Passo 3
Sabemos que quando
, a equação
gera um tipo especial de curva chamada cardioide. No nosso caso,
e
, então vamos estar lidando com um cardioide.
Passo 4
Um cardioide é uma curva em forma de coração. Para desenhá-lo, vamos analisar alguns pontos chave:
- Ponto mais próximo do centro (polo): Quando
, . - Ponto mais distante do centro: Quando
, . - Simetria: A curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo horizontal).
Passo 5
Com essas informações, começamos a traçar o gráfico:
- Comece no polo (centro), já que quando
, . - Quando
, a distância é 4 unidades para a direita do polo. - À medida que
varia de a , a curva vai formando uma forma arredondada, voltando ao polo e criando a característica forma de coração do cardioide.
Resposta
O gráfico da equação
em coordenadas polares é um cardioide simétrico em relação ao eixo polar, com ponto mais distante a 4 unidades do polo na direção de
e retornando ao polo quando
.
Exercícios relacionados
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Calcule:
u)
Respostas: a) , b)
, c)
, d) 0 , e)
, f)
, g)
, h) 0 , i)
, j) 2 , k)
, l)
, n) 8 , o)
, p)
, q)
, r)
, s)
, t)
, u) 0
u)
Respostas: a)
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
.
(a) calcule a integral
(a)
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
© Por que podemos concluir que
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.