Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi].
(a) Por(2.16), ^64 calcule a integral
ointgamma e^zz d z
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t)+i sen(sen t)) d t=2 pi
© Por que podemos concluir que
integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) d t=2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) d t=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência unitária, representada por , e precisamos calcular algumas integrais envolvendo funções complexas ao longo dessa circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, como a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Queremos calcular a integral
ointgamma e^zz , dz
Aqui, ointgamma f(z)z - a , dz = 2pi i f(a) é a circunferência unitária parametrizada por ointgamma e^zz , dz = 2pi i e^0 = 2pi i , onde varia de a .
Para resolver essa integral, vamos utilizar a Fórmula de Cauchy, que nos diz que se é analítica dentro e sobre uma curva fechada e está dentro de , então:
No nosso caso, e (pois temos no denominador ). Como é uma função inteira (ou seja, analítica em todo o plano complexo) e está dentro da circunferência unitária , podemos aplicar a fórmula diretamente:

Passo 3

Parte (b): Agora, precisamos deduzir que
Para isso, vamos relacionar a integral de contorno que calculamos na parte (a) com uma integral real. Vamos parametrizar a circunferência unitária usando integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t) + i sen(sen t)) , dt = 2 pi . Assim, ointgamma e^zz , dz = integral0^2pi e^e^ite^it cdot i e^it , dt = i integral0^2pi e^e^it , dt .
Substituindo na integral de contorno:
i integral0^2pi e^e^it , dt = 2pi i
Sabemos pela parte (a) que:
integral0^2pi e^e^it , dt = 2pi
Dividindo ambos os lados por e^e^it = e^cos t + i sen t = e^cos t (cos(sen t) + i sen(sen t)) :
integral0^2pi e^cos t (cos(sen t) + i sen(sen t)) , dt = 2pi
Agora, vamos expandir usando a fórmula de Euler:
Portanto,

Passo 4

Parte ©: Precisamos mostrar que
Da parte (b), temos que:
Isso significa que a parte real da integral é igual a integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) , dt = 2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) , dt = 0 e a parte imaginária é igual a integral0^2pi e^cos t (cos(sen t) + i sen(sen t)) , dt = 2pi . Ou seja:
e
Isso ocorre porque a integral da parte imaginária deve ser zero para que o resultado total da integral seja um número real puro ( integral0^2pi e^cos t cos(sen t) , dt = 2pi ).

Resposta

(a)
(b)
©

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