Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
.
(a)
calcule a integral
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
© Por que podemos concluir que
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência unitária, representada por
, e precisamos calcular algumas integrais envolvendo funções complexas ao longo dessa circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, como a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Queremos calcular a integral
Aqui,
é a circunferência unitária parametrizada por
, onde
varia de
a
.
Para resolver essa integral, vamos utilizar a Fórmula de Cauchy, que nos diz que se
é analítica dentro e sobre uma curva fechada
e
está dentro de
, então:
No nosso caso,
e
(pois temos
no denominador
). Como
é uma função inteira (ou seja, analítica em todo o plano complexo) e
está dentro da circunferência unitária
, podemos aplicar a fórmula diretamente:
Passo 3
Parte (b): Agora, precisamos deduzir que
Para isso, vamos relacionar a integral de contorno que calculamos na parte (a) com uma integral real. Vamos parametrizar a circunferência unitária usando
. Assim,
.
Substituindo na integral de contorno:
Sabemos pela parte (a) que:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos expandir
usando a fórmula de Euler:
Portanto,
Passo 4
Parte ©: Precisamos mostrar que
Da parte (b), temos que:
Isso significa que a parte real da integral é igual a
e a parte imaginária é igual a
. Ou seja:
e
Isso ocorre porque a integral da parte imaginária deve ser zero para que o resultado total da integral seja um número real puro (
).
Resposta
(a)
(b)
©
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Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
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em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.