Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas equações em coordenadas polares:
e
. Nosso objetivo é encontrar a área que está fora do gráfico da primeira equação (
) e dentro do gráfico da segunda equação (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde esses dois gráficos se cruzam, ou seja, encontrar os valores de
onde
é igual a
.
Então, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 4:
Agora, resolvemos para
. Sabemos que
acontece quando:
Passo 3
Com os pontos de interseção encontrados, vamos determinar os intervalos de
que precisamos considerar para calcular a área desejada. Observando as curvas:
- A equação
representa um círculo com diâmetro 4, centrado no ponto em coordenadas cartesianas. - A equação
representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
Para encontrar a área que está fora de
e dentro de
, vamos considerar o intervalo de
entre
e
. Isso porque fora desse intervalo, o gráfico de
fica menor que 2.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. Em coordenadas polares, a área
entre dois gráficos
e
é dada por:
No nosso caso:
-
(é o gráfico maior no intervalo considerado) -
-
e
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos fatorar o 4:
Agora, usamos a identidade trigonométrica
:
Substituindo de volta na integral:
Calculando cada parte:
Agora, juntando tudo:
Resposta
A área procurada é
unidades de área.
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Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
.
(a) calcule a integral
(a)
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
© Por que podemos concluir que
Calcule
onde
.
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.