Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
rho = 2 e rho = 4 cos(theta).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas equações em coordenadas polares: e . Nosso objetivo é encontrar a área que está fora do gráfico da primeira equação ( ) e dentro do gráfico da segunda equação ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde esses dois gráficos se cruzam, ou seja, encontrar os valores de theta onde é igual a .
Então, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 4:
Agora, resolvemos para theta. Sabemos que acontece quando:

Passo 3

Com os pontos de interseção encontrados, vamos determinar os intervalos de theta que precisamos considerar para calcular a área desejada. Observando as curvas:
  • A equação representa um círculo com diâmetro 4, centrado no ponto em coordenadas cartesianas.
  • A equação representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
Para encontrar a área que está fora de e dentro de , vamos considerar o intervalo de theta entre -pi/3 e pi / 3. Isso porque fora desse intervalo, o gráfico de fica menor que 2.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. Em coordenadas polares, a área A entre dois gráficos e é dada por:
No nosso caso:
  • (é o gráfico maior no intervalo considerado)
  • e
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos fatorar o 4:
Agora, usamos a identidade trigonométrica :
Substituindo de volta na integral:
Calculando cada parte:
Agora, juntando tudo:

Resposta

A área procurada é unidades de área.

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