Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de Análise Complexa para calcular uma integral de contorno. A gente vai precisar entender sobre integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada e os pontos onde ela “faz mal” (os chamados polos). A função dentro da integral é:
Olha só, os denominadores (\zeta - 2i) e (\zeta + 3) indicam que temos dois polos, ou seja, pontos onde a função não está definida:
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro da curva de integração
. Essa
é a borda de um disco centrado no ponto 1 com raio 5.
Para saber se um polo está dentro, calculamos a distância dele até o centro do disco e comparamos com o raio:
-
Para
: - Distância até 1:
- Como 2,24 < 5, está dentro.
- Distância até 1:
-
Para
: - Distância até 1:
- Como 4 < 5, também está dentro.
- Distância até 1:
Então, ambos os polos estão dentro de
.
Passo 4
Agora que sabemos que os dois polos estão dentro, vamos calcular o resíduo de cada um deles. O resíduo é essencialmente o valor que multiplicamos pelo
no Teorema dos Resíduos.
Para uma função que tem um polo simples (como é o caso aqui), o resíduo em
é dado por:
Vamos calcular para cada polo:
- Resíduo em
:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar:
- Resíduo em
:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar:
Passo 5
Agora, somamos os resíduos que encontramos:
Resposta
Então, o valor da integral dada é:
Exercícios relacionados
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.
Calcule a transformada de Laplace
:
(e)
(e)