Calcule
12 pi i ointgamma zeta^2+zeta(zeta-2 i)(zeta+3) d zeta
onde gamma=partial D(1,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de Análise Complexa para calcular uma integral de contorno. A gente vai precisar entender sobre integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada e os pontos onde ela “faz mal” (os chamados polos). A função dentro da integral é:
zeta^2 + zeta(zeta - 2i)(zeta + 3)
Olha só, os denominadores (\zeta - 2i) e (\zeta + 3) indicam que temos dois polos, ou seja, pontos onde a função não está definida:

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro da curva de integração . Essa é a borda de um disco centrado no ponto 1 com raio 5.
Para saber se um polo está dentro, calculamos a distância dele até o centro do disco e comparamos com o raio:
  1. Para :
    • Distância até 1:
    • Como 2,24 < 5, está dentro.
  2. Para :
    • Distância até 1:
    • Como 4 < 5, também está dentro.
Então, ambos os polos estão dentro de .

Passo 4

Agora que sabemos que os dois polos estão dentro, vamos calcular o resíduo de cada um deles. O resíduo é essencialmente o valor que multiplicamos pelo Res(f, a) = limzeta to a (zeta - a)f(zeta) no Teorema dos Resíduos.
Para uma função que tem um polo simples (como é o caso aqui), o resíduo em Res(f, 2i) = limzeta to 2i (zeta - 2i) cdot zeta^2 + zeta(zeta - 2i)(zeta + 3) = (2i)^2 + 2i2i + 3 é dado por:
(2i)^2 = -4 -4 + 2i = -4 + 2i 2i + 3 = 3 + 2i Res(f, 2i) = -4 + 2i3 + 2i
Vamos calcular para cada polo:
  1. Resíduo em (-4 + 2i)(3 - 2i)(3 + 2i)(3 - 2i) = -12 + 8i + 6i - 4i^29 + 4 = -12 + 14i + 413 = -8 + 14i13 = -813 + 1413i :
Res(f, -3) = limzeta to -3 (zeta + 3) cdot zeta^2 + zeta(zeta - 2i)(zeta + 3) = (-3)^2 + (-3)(-3) - 2i
Simplificando:
(-3)^2 = 9 9 - 3 = 6 -3 - 2i = -3 - 2i Res(f, -3) = 6-3 - 2i
Multiplicando numerador e denominador por 6(-3 + 2i)(-3 - 2i)(-3 + 2i) = -18 + 12i9 + 4 = -18 + 12i13 = -1813 + 1213i para racionalizar:
  1. Resíduo em :
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:

Passo 5

Agora, somamos os resíduos que encontramos:
Res(f, 2i) + Res(f, -3) = (-813 + 1413i) + (-1813 + 1213i) = -2613 + 2613i = -2 + 2i

Resposta

Então, o valor da integral dada é:
-2 + 2i

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