Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares e vamos usar cálculo integral para achar a área. Vamos precisar lembrar da fórmula para calcular a área em coordenadas polares e entender como a função
se comporta no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área
de uma curva dada por
é:
Onde
e
são os limites de
que definem uma volta completa ou a região de interesse.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa é uma curva conhecida como rosa polar. Para
, temos 4 pétalas porque o coeficiente de
é 2 (quando é par, o número de pétalas é
, onde
). Queremos encontrar a área de toda a região delimitada pela curva, então vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar pelo número de pétalas.
Passo 4
Vamos determinar o intervalo de
que corresponde a uma pétala. Como a função
completa uma pétala quando
varia de
a
, porque
varia de
a
, e o seno completa um ciclo nesse intervalo.
Passo 5
Usando a fórmula da área, vamos calcular a área de uma pétala:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Então, a área de uma pétala é:
Passo 9
Como temos 4 pétalas, a área total é:
Resposta
A área da região delimitada pelo gráfico da equação
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
.
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Calcule a transformada de Laplace
:
(e)
(e)
Calcule a derivada
das seguintes funções: