Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
rho = sen(2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares e vamos usar cálculo integral para achar a área. Vamos precisar lembrar da fórmula para calcular a área em coordenadas polares e entender como a função se comporta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área A de uma curva dada por é:
Onde alpha e beta são os limites de theta que definem uma volta completa ou a região de interesse.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é uma curva conhecida como rosa polar. Para , temos 4 pétalas porque o coeficiente de theta é 2 (quando é par, o número de pétalas é , onde n = 2). Queremos encontrar a área de toda a região delimitada pela curva, então vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar pelo número de pétalas.

Passo 4

Vamos determinar o intervalo de theta que corresponde a uma pétala. Como a função completa uma pétala quando theta varia de 0 a pi / 2, porque varia de 0 a pi, e o seno completa um ciclo nesse intervalo.

Passo 5

Usando a fórmula da área, vamos calcular a área de uma pétala:
é

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, a integral fica:
é

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a pi / 2:

Passo 8

Então, a área de uma pétala é:
é

Passo 9

Como temos 4 pétalas, a área total é:

Resposta

A área da região delimitada pelo gráfico da equação é pi / 2 unidades de área.

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Calcule
12 pi i ointgamma zeta^2+zeta(zeta-2 i)(zeta+3) d zeta
onde gamma=partial D(1,5).
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
rho = 2 e rho = 4 cos(theta).
Calcule a transformada de Laplace L{f(t)} :
(e) f(t) = t * e^(4 * t)
Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = x^(-5)