Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x + 2 com 1 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo! A questão pede para encontrar o Volume e a Área Lateral de um sólido formado pela rotação do gráfico da função em torno do eixo , no intervalo de de 1 a 3. Para isso, vamos usar as fórmulas de volumes e áreas de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. A gente vai usar a fórmula dos discos, que é:
Aqui, , e os limites de integração são de 1 a 3. Então, vamos elevar ao quadrado:
Agora, substituímos na fórmula:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. A gente usa a fórmula da área de superfície de revolução:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Então, substituindo na expressão dentro da raiz:
A fórmula fica então:
Vamos integrar :
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:

Resposta

O Volume do sólido é unidades cúbicas e a Área Lateral é unidades quadradas.

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