Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo! A questão pede para encontrar o Volume e a Área Lateral de um sólido formado pela rotação do gráfico da função
em torno do eixo
, no intervalo de
de 1 a 3. Para isso, vamos usar as fórmulas de volumes e áreas de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. A gente vai usar a fórmula dos discos, que é:
Aqui,
, e os limites de integração são de 1 a 3. Então, vamos elevar
ao quadrado:
Agora, substituímos na fórmula:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. A gente usa a fórmula da área de superfície de revolução:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Então, substituindo na expressão dentro da raiz:
A fórmula fica então:
Vamos integrar
:
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:
Resposta
O Volume do sólido é
unidades cúbicas e a Área Lateral é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
.
(a) calcule a integral
(a)
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
© Por que podemos concluir que
Trace o gráfico da equação
em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
.
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Calcule
onde
.