Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x + 2 com 1 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo! A questão pede para encontrar o Volume e a Área Lateral de um sólido formado pela rotação do gráfico da função em torno do eixo , no intervalo de de 1 a 3. Para isso, vamos usar as fórmulas de volumes e áreas de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. A gente vai usar a fórmula dos discos, que é:
Aqui, , e os limites de integração são de 1 a 3. Então, vamos elevar ao quadrado:
Agora, substituímos na fórmula:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. A gente usa a fórmula da área de superfície de revolução:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Então, substituindo na expressão dentro da raiz:
A fórmula fica então:
Vamos integrar :
Avaliado de 1 a 3:
Simplificando:

Resposta

O Volume do sólido é unidades cúbicas e a Área Lateral é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi].
(a) Por(2.16), ^64 calcule a integral
ointgamma e^zz d z
(b) Por (2.12) (da observação 9) e pelo item (a) supracitado, deduza que
integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t)+i sen(sen t)) d t=2 pi
© Por que podemos concluir que
integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) d t=2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) d t=0 ?
Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 2 cos(theta).
Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
rho = 2 e rho = 4 cos(theta).
Calcule
12 pi i ointgamma zeta^2+zeta(zeta-2 i)(zeta+3) d zeta
onde gamma=partial D(1,5).