Ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área onde as regiões delimitadas pelas duas equações e se intersectam. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que é uma matéria de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como graficar essas equações e depois calcular a área de sobreposição usando integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas. A primeira equação é a equação de um cardioide, que é um tipo de curva em coordenadas polares. A segunda equação é um círculo com raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para determinar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 4

Resolvendo , temos:
Então:
Dentro do intervalo , os valores de são e .

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral para calcular a área de interseção. A fórmula para a área em coordenadas polares entre dois ângulos e é:
No nosso caso, entre e , o círculo está por fora do cardioide . Portanto, e .

Passo 6

Substituindo na fórmula da área:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
Calculando cada parte:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

A área de intersecção das regiões é unidades de área.

Exercícios relacionados

Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Cada equação polar representa uma cônica tendo um foco na origem. Identifique a cônica.
Ache os pontos de intersecção dos gráficos do par de equações dadas.