Ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área onde as regiões delimitadas pelas duas equações
e
se intersectam. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que é uma matéria de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como graficar essas equações e depois calcular a área de sobreposição usando integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas. A primeira equação
é a equação de um cardioide, que é um tipo de curva em coordenadas polares. A segunda equação
é um círculo com raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para determinar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Resolvendo
, temos:
Então:
Dentro do intervalo
, os valores de
são
e
.
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral para calcular a área de interseção. A fórmula para a área em coordenadas polares entre dois ângulos
e
é:
No nosso caso, entre
e
, o círculo
está por fora do cardioide
. Portanto,
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula da área:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral:
Calculando cada parte:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A área de intersecção das regiões é
unidades de área.
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