Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. r^2 = 4 sen(2 theta)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação . Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares e entender como identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Aqui, é a função em termos de , e e são os limites de integração que correspondem aos ângulos que definem a região.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração e . Observando a equação , percebemos que será real se . Isso ocorre quando está no intervalo de a , ou seja, varia de a .

Passo 4

Vamos integrar no intervalo de a para encontrar a área de uma das “folhas” da curva. Como a curva é simétrica em relação ao eixo, depois multiplicamos o resultado por 2 para obter a área total.

Passo 5

Substituindo na fórmula da área, temos:
Simplificando, fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de a :
Portanto, a área de uma folha é:

Resposta

A área total da região delimitada pelo gráfico da equação é igual a 2 unidades de área.

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