Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação
. Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares e entender como identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área
de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Aqui,
é a função em termos de
, e
e
são os limites de integração que correspondem aos ângulos que definem a região.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração
e
. Observando a equação
, percebemos que
será real se
. Isso ocorre quando
está no intervalo de
a
, ou seja,
varia de
a
.
Passo 4
Vamos integrar no intervalo de
a
para encontrar a área de uma das “folhas” da curva. Como a curva é simétrica em relação ao eixo, depois multiplicamos o resultado por 2 para obter a área total.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área, temos:
Simplificando, fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Portanto, a área de uma folha é:
Resposta
A área total da região delimitada pelo gráfico da equação
é igual a 2 unidades de área.