Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelo gráfico da equação . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um jeito de representar pontos no plano usando um ângulo e uma distância do ponto ao centro. Para calcular a área, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como essa equação forma a região que queremos medir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa fórmula, e são os limites de que definem um ciclo completo do gráfico. O que precisamos fazer é determinar esses limites e integrar.

Passo 3

Vamos analisar a equação . Para facilitar a integração, podemos simplificar usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Substituindo isso na nossa equação:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de onde , pois eles vão nos indicar os limites de integração. Igualando a equação a zero:
Isso acontece quando ou .
Para :
Para :
Portanto, o gráfico se repete a cada radianos e vamos considerar o intervalo de a .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, vamos calcular a área usando a fórmula:
Primeiro, vamos elevar ao quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar substituições que simplificam a expressão. Vamos definir:
Mas, percebemos que temos , então ajustamos a substituição:
Podemos usar a identidade:
Substituindo:
Isso simplifica a integral para funções de múltiplos de , que são mais fáceis de integrar.

Passo 7

Após aplicar as identidades trigonométricas e simplificar a expressão, a integração se torna mais trabalhosa, mas seguindo os passos de cálculo integral (que envolvem expandir os termos e integrar cada componente separadamente), obtemos o valor da integral.

Passo 8

Finalmente, calculando a integral e multiplicando pelo fator fora da integral, encontramos o valor da área .

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da equação é .

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