Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelo gráfico da equação
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um jeito de representar pontos no plano usando um ângulo
e uma distância
do ponto ao centro. Para calcular a área, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como essa equação forma a região que queremos medir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área
em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa fórmula,
e
são os limites de
que definem um ciclo completo do gráfico. O que precisamos fazer é determinar esses limites e integrar.
Passo 3
Vamos analisar a equação
. Para facilitar a integração, podemos simplificar
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Substituindo isso na nossa equação:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de
onde
, pois eles vão nos indicar os limites de integração. Igualando a equação a zero:
Isso acontece quando
ou
.
Para
:
Para
:
Portanto, o gráfico se repete a cada
radianos e vamos considerar o intervalo de
a
.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração, vamos calcular a área usando a fórmula:
Primeiro, vamos elevar
ao quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar substituições que simplificam a expressão. Vamos definir:
Mas, percebemos que temos
, então ajustamos a substituição:
Podemos usar a identidade:
Substituindo:
Isso simplifica a integral para funções de múltiplos de
, que são mais fáceis de integrar.
Passo 7
Após aplicar as identidades trigonométricas e simplificar a expressão, a integração se torna mais trabalhosa, mas seguindo os passos de cálculo integral (que envolvem expandir os termos e integrar cada componente separadamente), obtemos o valor da integral.
Passo 8
Finalmente, calculando a integral e multiplicando pelo fator fora da integral, encontramos o valor da área
.
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico da equação
é
.
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