Ache a área do maior retângulo com base inferior sobre o eixo x e os vértices superiores na parábola de equação y = 27 - x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área do maior retângulo que tem a base sobre o eixo x e os vértices superiores na parábola dada pela equação . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente otimização usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o retângulo está posicionado. Como a base está sobre o eixo x, nossos vértices inferiores ficam em pontos (a, 0) e , onde a é a metade da base do retângulo. Os vértices superiores estão na parábola, então ficam em e .

Passo 3

Agora, vamos expressar a área do retângulo em termos de a. A largura do retângulo é (de -a a a) e a altura é (a coordenação y dos vértices superiores). Então, a área A é:

Passo 4

Para encontrar o maior retângulo, precisamos maximizar a função da área A. Isso envolve calcular a derivada de A em relação a a e encontrar o valor de a que faz essa derivada igual a zero.

Passo 5

Vamos derivar a função A:
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para a:
(Desconsideramos porque a distância é positiva)

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar a altura do retângulo:

Resposta

O maior retângulo tem área igual a unidades quadradas.

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