Ache a área do maior retângulo com base inferior sobre o eixo
e os vértices superiores na parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área do maior retângulo que tem a base sobre o eixo
e os vértices superiores na parábola dada pela equação
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente otimização usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o retângulo está posicionado. Como a base está sobre o eixo
, nossos vértices inferiores ficam em pontos
e
, onde
é a metade da base do retângulo. Os vértices superiores estão na parábola, então ficam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área do retângulo em termos de
. A largura do retângulo é
(de
a
) e a altura é
(a coordenação
dos vértices superiores). Então, a área
é:
Passo 4
Para encontrar o maior retângulo, precisamos maximizar a função da área
. Isso envolve calcular a derivada de
em relação a
e encontrar o valor de
que faz essa derivada igual a zero.
Passo 5
Vamos derivar a função
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
(Desconsideramos
porque a distância é positiva)
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar a altura do retângulo:
Resposta
O maior retângulo tem área igual a
unidades quadradas.
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Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(b)
(b)
Um certo cartaz deverá ter
para a mensagem impressa; deve ter
de margem no topo e na base e uma margem de 5 cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mínima.
Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(f)
(f)
Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(j)
(j)