Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender continuidade e diferenciabilidade. Continuar significa que a função não tem “saltos” ou “buracos” no ponto em questão, e diferenciável quer dizer que a função tem uma derivada nesse ponto, ou seja, ela é “suave” ali.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor de
.
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, então:
Como
e
, pelo Teorema do Aperto (Sandwich Theorem), temos:
E como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no mesmo ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em 0, que é definida por:
Substituindo
:
Assim como antes, sabemos que
está entre -1 e 1, então:
Novamente, usando o Teorema do Aperto, e sabendo que
e
, concluímos:
Resposta
A função
é contínua e diferenciável no ponto
, com a derivada
.