Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_0, sendo:
(f) f(x) = { x^2 sen(1/x) , se x != 0; 0 , se x = 0; x_0 = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua e diferenciável no ponto . A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender continuidade e diferenciabilidade. Continuar significa que a função não tem “saltos” ou “buracos” no ponto em questão, e diferenciável quer dizer que a função tem uma derivada nesse ponto, ou seja, ela é “suave” ali.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de .
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Como e , pelo Teorema do Aperto (Sandwich Theorem), temos:
E como , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no mesmo ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada de em 0, que é definida por:
Substituindo :
Assim como antes, sabemos que está entre -1 e 1, então:
Novamente, usando o Teorema do Aperto, e sabendo que e , concluímos:

Resposta

A função é contínua e diferenciável no ponto , com a derivada .

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