Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua e diferenciável no ponto . A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender continuidade e diferenciabilidade. Continuar significa que a função não tem “saltos” ou “buracos” no ponto em questão, e diferenciável quer dizer que a função tem uma derivada nesse ponto, ou seja, ela é “suave” ali.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de .
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Como e , pelo Teorema do Aperto (Sandwich Theorem), temos:
E como , a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no mesmo ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada de em 0, que é definida por:
Substituindo :
Assim como antes, sabemos que está entre -1 e 1, então:
Novamente, usando o Teorema do Aperto, e sabendo que e , concluímos:
Resposta
A função é contínua e diferenciável no ponto , com a derivada .