Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(j)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a função é contínua e diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de propriedades de funções trigonométricas e valor absoluto.

Passo 2

Contínua em
Primeiro, vamos verificar se é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Então, precisamos calcular:
Sabemos que , então:
E o valor da função em é:
Como o limite de quando se aproxima de 0 é igual a , a função é contínua em .

Passo 3

Diferenciável em
Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular a derivada de e verificar se ela existe em .
A derivada de pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Observe que a derivada de é , desde que . No nosso caso, .
Para , a derivada existe, mas precisamos verificar o comportamento em .
Vamos calcular o limite da derivada quando se aproxima de 0:
Sabemos que , mas analisando o comportamento próximo a 0:
  • Para próximo de 0, (usando a aproximação para pequeno).
  • Então, .
Portanto:
Como o limite da derivada existe e é igual a 0, a função é diferenciável em .

Resposta

A função é contínua e diferenciável no ponto . A derivada em é igual a 0.

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Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(f)
Calcule para as funções abaixo:
3)
Ache o raio do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito num cone de altura e raio da base .