Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(j)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a função é contínua e diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de propriedades de funções trigonométricas e valor absoluto.
Passo 2
Contínua em
Primeiro, vamos verificar se é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Então, precisamos calcular:
Sabemos que , então:
E o valor da função em é:
Como o limite de quando se aproxima de 0 é igual a , a função é contínua em .
Passo 3
Diferenciável em
Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular a derivada de e verificar se ela existe em .
A derivada de pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Observe que a derivada de é , desde que . No nosso caso, .
Para , a derivada existe, mas precisamos verificar o comportamento em .
Vamos calcular o limite da derivada quando se aproxima de 0:
Sabemos que , mas analisando o comportamento próximo a 0:
Para próximo de 0, (usando a aproximação para pequeno).
Então, .
Portanto:
Como o limite da derivada existe e é igual a 0, a função é diferenciável em .
Resposta
A função é contínua e diferenciável no ponto . A derivada em é igual a 0.