Um certo cartaz deverá ter 600 cm² para a mensagem impressa; deve ter 7,5 cm de margem no topo e na base e uma margem de 5 cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir as dimensões totais de um cartaz. A mensagem ocupa ², e temos margens de no topo e na base, e em cada lado. Nosso objetivo é minimizar a quantidade de papel usada, ou seja, minimizar a área total do cartaz.

Passo 2

Vamos chamar a largura total do cartaz de w cm e a altura total de h cm. A área total do cartaz é .

Passo 3

A área da mensagem é . Simplificando isso, temos:

Passo 4

Vamos expressar h em função de w usando a equação da área da mensagem:

Passo 5

Agora, substituímos h na fórmula da área total:

Passo 6

Para encontrar o mínimo da área, derivamos A em relação a w e igualamos a zero:

Simplificando:

Passo 7

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar h:

Resposta

As dimensões totais do cartaz para minimizar a quantidade de papel usada são de largura e de altura.

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