Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se essa função é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade, além de saber calcular limites e derivadas.

Passo 2

Verificando a continuidade em :
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Primeiro, calculamos :
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Limite pela esquerda ( ):
Para , . Então:
Limite pela direita ( ):
Para , . Vamos calcular esse limite:
Note que quando se aproxima de 1, o denominador tende a zero, e o numerador também tende a zero. Isso nos dá uma forma indeterminada , então vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, substituindo :
Então:
Comparando os limites:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral não existe, ou seja:
ã
Portanto, não é contínua em .

Passo 3

Verificando a derivabilidade em :
Para uma função ser derivável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto. Como já mostramos que não é contínua em , automaticamente, ela não é derivável nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua nem derivável no ponto .

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(b) Se são funções tais que é limitada e , então tem-se que
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(f)