Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se essa função é contínua e derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade, além de saber calcular limites e derivadas.
Passo 2
Verificando a continuidade em
:
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Limite pela esquerda (
):
Para
,
. Então:
Limite pela direita (
):
Para
,
. Vamos calcular esse limite:
Note que quando
se aproxima de 1, o denominador
tende a zero, e o numerador
também tende a zero. Isso nos dá uma forma indeterminada
, então vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, substituindo
:
Então:
Comparando os limites:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral não existe, ou seja:
Portanto,
não é contínua em
.
Passo 3
Verificando a derivabilidade em
:
Para uma função ser derivável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto. Como já mostramos que
não é contínua em
, automaticamente, ela não é derivável nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua nem derivável no ponto
.
Exercícios relacionados
Um certo cartaz deverá ter
para a mensagem impressa; deve ter
de margem no topo e na base e uma margem de 5 cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mínima.
Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(b) Se são funções tais que
é limitada e
, então tem-se que
(b) Se
Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(f)
(f)