Ache a área da parte da superfície no plano , delimitada pelos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a área da parte de uma superfície que está no plano e que é limitada pelos planos coordenados (isto é, pelos planos , e ). Basicamente, queremos encontrar a área da região onde o plano corta os eixos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos e interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde o plano corta cada um dos eixos coordenados.
Interseção com o eixo : Para encontrar onde o plano corta o eixo , vamos definir e na equação do plano:
Então, o ponto de interseção no eixo é .
Interseção com o eixo : Agora, definimos e :
O ponto de interseção no eixo é .
Interseção com o eixo : Por fim, definimos e :
O ponto de interseção no eixo é .
Passo 3
Agora que temos os três pontos de interseção , e , podemos visualizar que eles formam um triângulo no espaço tridimensional. Para encontrar a área desse triângulo, vamos usar o produto vetorial, que nos ajuda a calcular a área de paralelogramos e, consequentemente, de triângulos.
Primeiro, vamos definir dois vetores que formam os lados do triângulo:
O produto vetorial é dado por:
A magnitude desse vetor é:
Passo 4
Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula:
Á
Substituindo a magnitude que calculamos:
Á
Podemos simplificar da seguinte forma:
Então,
Á
Resposta
A área da parte da superfície delimitada pelos planos coordenados é unidades de área.