Ache a área da superfície delimitada no plano
pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da superfície delimitada no plano
pelos planos
,
,
e
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e usar a fórmula adequada para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície no espaço. A superfície dada está no plano
. Podemos resolver essa equação para
em função de
e
, ficando
. Isso nos permite parametrizar a superfície usando
e
como parâmetros.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites para
e
. Os planos
e
delimitam
entre 0 e 1, e os planos
e
delimitam
entre 0 e 1. Então, temos um retângulo no plano
onde
e
.
Passo 4
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área para superfícies parametrizadas:
Essa fórmula vem do cálculo de integrais duplas e considera como a superfície está inclinada em relação ao plano
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 7
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
A integral
representa a área do domínio
no plano
, que é um retângulo de
.
Passo 8
Calculando a integral:
Passo 9
Então, a área da superfície é:
Resposta
A área da superfície é
unidades quadradas.