Ache a área da superfície delimitada no plano 2 x + y + z = 4 pelos planos x=0, x=1, y=0 e y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da superfície delimitada no plano pelos planos , , e . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e usar a fórmula adequada para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície no espaço. A superfície dada está no plano . Podemos resolver essa equação para em função de e , ficando . Isso nos permite parametrizar a superfície usando e como parâmetros.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites para e . Os planos e delimitam entre 0 e 1, e os planos e delimitam entre 0 e 1. Então, temos um retângulo no plano onde e .

Passo 4

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área para superfícies parametrizadas:
Á
Essa fórmula vem do cálculo de integrais duplas e considera como a superfície está inclinada em relação ao plano .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Á

Passo 7

Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Á
A integral representa a área do domínio no plano , que é um retângulo de .

Passo 8

Calculando a integral:

Passo 9

Então, a área da superfície é:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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