Ache a área da superfície delimitada no plano z - 2x - y = 5 pelos planos x=0, x=2, y=0 e y = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da superfície limitada no plano pelos planos , , e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por uma função .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação do plano para isolar o . A equação fica:
Então, nossa função é .

Passo 3

Agora, para encontrar a área da superfície, usamos a seguinte fórmula de área para uma superfície :
Onde é a região no plano limitada pelos planos dados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:
A integral dupla representa a área da região no plano .

Passo 6

A região está limitada por , , e . Isso forma um retângulo com comprimento 2 (de a ) e largura 4 (de a ). A área desse retângulo é:
Áâ

Passo 7

Finalmente, substituímos a área do retângulo na expressão da área da superfície:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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