Ache a área da superfície delimitada no plano
pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da superfície limitada no plano
pelos planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por uma função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação do plano para isolar o
. A equação
fica:
Então, nossa função é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área da superfície, usamos a seguinte fórmula de área para uma superfície
:
Onde
é a região no plano
limitada pelos planos dados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
A integral dupla
representa a área da região
no plano
.
Passo 6
A região
está limitada por
,
,
e
. Isso forma um retângulo com comprimento 2 (de
a
) e largura 4 (de
a
). A área desse retângulo é:
Passo 7
Finalmente, substituímos a área do retângulo na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.