Ache a área da superfície que é delimitada no plano z = a x + b y pelos planos x=0, x=a, y=0 e y=b, onde a > 0 e b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria! A gente precisa encontrar a área de uma superfície que está no plano . Essa superfície é limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação do plano . Essa equação descreve uma superfície inclinada no espaço tridimensional, onde e são constantes que determinam a inclinação em relação aos eixos e .

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície, precisamos calcular uma integral dupla sobre a região delimitada por a e a . A fórmula geral para a área de uma superfície é:
Á

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Á

Passo 6

Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Á

Passo 7

Agora, calculamos a integral dupla sobre a região , que é um retângulo com largura e altura :

Resposta

Portanto, a área da superfície é , ou seja:
Á

Exercícios relacionados