Ache a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro x^2 + y^2 = 9 pelo plano x = z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que está no primeiro octante, ou seja, onde , e são positivos, limitada pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especialmente integração para encontrar áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. O cilindro é um cilindro circular cujo raio é 3, alinhado ao eixo . O plano é um plano inclinado que intercepta os eixos e em pontos iguais. Como estamos no primeiro octante, vamos considerar , e .

Passo 3

Para encontrar a área da superfície, podemos parametrizar o cilindro. Como , podemos usar coordenadas polares no plano . Vamos definir:
Onde varia de a para ficar no primeiro octante.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites para . Pelo plano , sabemos que . Então, para cada , varia de até .

Passo 5

A fórmula para a área de uma superfície parametrizada é:
Onde .

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial dessas derivadas é:
E o módulo desse vetor é:

Passo 7

Agora, podemos integrar para encontrar a área:
Integrando em relação a :
E integrando :

Resposta

A área da superfície no primeiro octante delimitada pelo cilindro pelo plano é 9 unidades de área.

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