Ache a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que está no primeiro octante, ou seja, onde , e são positivos, limitada pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especialmente integração para encontrar áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas. O cilindro é um cilindro circular cujo raio é 3, alinhado ao eixo . O plano é um plano inclinado que intercepta os eixos e em pontos iguais. Como estamos no primeiro octante, vamos considerar , e .
Passo 3
Para encontrar a área da superfície, podemos parametrizar o cilindro. Como , podemos usar coordenadas polares no plano . Vamos definir:
Onde varia de a para ficar no primeiro octante.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os limites para . Pelo plano , sabemos que . Então, para cada , varia de até .
Passo 5
A fórmula para a área de uma superfície parametrizada é:
Onde .
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial dessas derivadas é:
E o módulo desse vetor é:
Passo 7
Agora, podemos integrar para encontrar a área:
Integrando em relação a :
E integrando :
Resposta
A área da superfície no primeiro octante delimitada pelo cilindro pelo plano é 9 unidades de área.