Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área entre os gráficos das funções e no intervalo de de 1 a 4. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integral definida, para calcular essa área.

Passo 2

Para encontrar a área entre duas curvas, a gente precisa integrar a diferença entre as funções no intervalo dado. Mas antes, vamos descobrir qual das funções está por cima (maior) nesse intervalo, assim sabemos qual subtrair da outra.

Passo 3

Vamos comparar as funções e para valores de entre 1 e 4.
Calculando em :
Aqui, .
Calculando em :
Agora, .
Parece que as funções se cruzam em algum ponto dentro do intervalo. Vamos encontrar esse ponto de interseção.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, igualamos e :
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação de segundo grau.

Passo 5

A equação pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
ou
Como estamos no intervalo de 1 a 4, consideramos .

Passo 6

Agora, dividimos o intervalo [1,4] em [1,3] e [3,4].
Em [1,3], está acima de .
Em [3,4], está acima de .

Passo 7

Vamos calcular a área como a soma das áreas das duas regiões:
Á

Passo 8

Calculando :
Calculando :

Passo 9

Integrando de 1 a 3:
Integrando de 3 a 4:

Passo 10

Primeira integral:
Avaliada de 1 a 3:
Segunda integral:
Avaliada de 3 a 4:

Passo 11

Somando as duas integrais:

Resposta

A área da região compreendida entre os gráficos de e no intervalo [1,4] é aproximadamente 10,166 unidades quadradas.

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