Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
de 1 a 4. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integral definida, para calcular essa área.
Passo 2
Para encontrar a área entre duas curvas, a gente precisa integrar a diferença entre as funções no intervalo dado. Mas antes, vamos descobrir qual das funções está por cima (maior) nesse intervalo, assim sabemos qual subtrair da outra.
Passo 3
Vamos comparar as funções
e
para valores de
entre 1 e 4.
Calculando em
:
Aqui,
.
Calculando em
:
Agora,
.
Parece que as funções se cruzam em algum ponto dentro do intervalo. Vamos encontrar esse ponto de interseção.
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos
e
:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação de segundo grau.
Passo 5
A equação
pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
ou
Como estamos no intervalo de 1 a 4, consideramos
.
Passo 6
Agora, dividimos o intervalo [1,4] em [1,3] e [3,4].
Em [1,3],
está acima de
.
Em [3,4],
está acima de
.
Passo 7
Vamos calcular a área como a soma das áreas das duas regiões:
Passo 8
Calculando
:
Calculando
:
Passo 9
Integrando de 1 a 3:
Integrando de 3 a 4:
Passo 10
Primeira integral:
Avaliada de 1 a 3:
Segunda integral:
Avaliada de 3 a 4:
Passo 11
Somando as duas integrais:
Resposta
A área da região compreendida entre os gráficos de
e
no intervalo [1,4] é aproximadamente 10,166 unidades quadradas.
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(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde
é o deslocamento máximo,
é o tempo e
é uma constante. Encontre
em funçāo de
, dado que
quando
.