(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde é o deslocamento máximo, é o tempo e é uma constante. Encontre em funçāo de , dado que quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa presa a uma mola que realiza um movimento harmônico simples (MHS). Isso significa que a partícula oscila de um lado para o outro de forma periódica. A gente vai precisar usar a Lei de Hooke, que relaciona a força da mola com o deslocamento da partícula, e resolver uma equação diferencial para encontrar a posição em função do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que foi dada:
Aqui, é o deslocamento máximo, é a constante da mola, e é a posição da partícula no tempo . A ideia é integrar ambos os lados para encontrar .

Passo 3

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Essa é uma integral padrão que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, a integral do lado direito:
onde é outra constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Para determinar a constante , usamos a condição inicial: quando :
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos isolar :

Resposta

A posição em função do tempo é:

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Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado:
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Calcule a integral:
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