(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde
é o deslocamento máximo,
é o tempo e
é uma constante. Encontre
em funçāo de
, dado que
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa
presa a uma mola que realiza um movimento harmônico simples (MHS). Isso significa que a partícula oscila de um lado para o outro de forma periódica. A gente vai precisar usar a Lei de Hooke, que relaciona a força da mola com o deslocamento da partícula, e resolver uma equação diferencial para encontrar a posição
em função do tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que foi dada:
Aqui,
é o deslocamento máximo,
é a constante da mola, e
é a posição da partícula no tempo
. A ideia é integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 3
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Essa é uma integral padrão que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, a integral do lado direito:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial:
quando
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Resposta
A posição
em função do tempo
é:
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Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
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restrito ao intervalo dado:
Calcule a integral:
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