(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
integral d yraizA^2-y^2=integral raizkm d t onde A é o deslocamento máximo, t é o tempo e k é uma constante. Encontre y em funçāo de t, dado que y=0 quando t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa presa a uma mola que realiza um movimento harmônico simples (MHS). Isso significa que a partícula oscila de um lado para o outro de forma periódica. A gente vai precisar usar a Lei de Hooke, que relaciona a força da mola com o deslocamento da partícula, e resolver uma equação diferencial para encontrar a posição em função do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que foi dada:
integral dyraizA^2 - y^2 = integral raizkm , dt
Aqui, é o deslocamento máximo, é a constante da mola, e é a posição da partícula no tempo . A ideia é integrar ambos os lados para encontrar .

Passo 3

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
integral dyraizA^2 - y^2
Essa é uma integral padrão que resulta em:
arcsin(yA) + C1
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, a integral do lado direito:
integral raizkm , dt = raizkm , t + C2
onde é outra constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas integrais:
arcsin(yA) + C1 = raizkm , t + C2
Podemos combinar as constantes arcsin(yA) = raizkm , t + C e em uma única constante :

Passo 6

Para determinar a constante arcsin(0A) = raizkm cdot 0 + C Rightarrow 0 = 0 + C Rightarrow C = 0 , usamos a condição inicial: arcsin(yA) = raizkm , t quando :
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos isolar yA = sin( raizkm , t ) Rightarrow y = A cdot sin( raizkm , t ) :

Resposta

A posição y(t) = A cdot sin( raizkm , t ) em função do tempo é:

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