Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas equações:
e
. Nosso objetivo é desenhar as curvas que essas equações representam no gráfico e calcular a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente no que diz respeito à interseção de curvas e integração para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é uma reta.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
, encontramos os correspondentes valores de
usando uma das equações, por exemplo,
:
- Para
, - Para
,
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, sabemos que a área entre duas curvas pode ser encontrada integrando a diferença das funções em relação a uma das variáveis, no intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Como temos
em função de
, vamos integrar em relação a
.
Passo 7
As curvas são
(parábola) e
(reta). A área
será:
Aqui, subtraímos
de
porque a reta está à direita da parábola no intervalo considerado.
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas duas curvas é
unidades de área.
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Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
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