Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas equações: e . Nosso objetivo é desenhar as curvas que essas equações representam no gráfico e calcular a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente no que diz respeito à interseção de curvas e integração para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma reta.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de usando uma das equações, por exemplo, :
  • Para ,
  • Para ,
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, sabemos que a área entre duas curvas pode ser encontrada integrando a diferença das funções em relação a uma das variáveis, no intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Como temos em função de , vamos integrar em relação a .

Passo 7

As curvas são (parábola) e (reta). A área será:
Aqui, subtraímos de porque a reta está à direita da parábola no intervalo considerado.

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas duas curvas é unidades de área.

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