Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a área da região entre os gráficos das funções e no intervalo de de -1 a 2. Esse tipo de problema é relacionado ao cálculo de integrais, onde usamos integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Vamos precisar identificar qual das funções está acima da outra no intervalo dado e, em seguida, integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais das duas funções está acima da outra em cada parte do intervalo . Para isso, vamos comparar e para valores de entre -1 e 2.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam, ou seja, onde :
Isso nos dá e . Esses são os pontos onde as funções se cruzam no intervalo.

Passo 4

Agora, vamos testar um valor de em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção para ver qual função está acima:
  • Para (entre -1 e 0):
    Aqui, .
  • Para (entre 0 e 1):
    Ainda, .
  • Para (entre 1 e 2):
    Aqui, .

Passo 5

Com isso, sabemos que:
  • De -1 a 1, está acima de .
  • De 1 a 2, está acima de .
Vamos dividir a integral em dois intervalos para calcular a área:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Resposta

A área da região compreendida entre os gráficos de e no intervalo é:
Áá

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde é o deslocamento máximo, é o tempo e é uma constante. Encontre em funçāo de , dado que quando .
Calcule a integral: