Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a área da região entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
de -1 a 2. Esse tipo de problema é relacionado ao cálculo de integrais, onde usamos integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Vamos precisar identificar qual das funções está acima da outra no intervalo dado e, em seguida, integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais das duas funções está acima da outra em cada parte do intervalo
. Para isso, vamos comparar
e
para valores de
entre -1 e 2.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam, ou seja, onde
:
Isso nos dá
e
. Esses são os pontos onde as funções se cruzam no intervalo.
Passo 4
Agora, vamos testar um valor de
em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção para ver qual função está acima:
-
Para
(entre -1 e 0): Aqui,. -
Para
(entre 0 e 1): Ainda,. -
Para
(entre 1 e 2): Aqui,.
Passo 5
Com isso, sabemos que:
- De -1 a 1,
está acima de . - De 1 a 2,
está acima de .
Vamos dividir a integral em dois intervalos para calcular a área:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Resposta
A área da região compreendida entre os gráficos de
e
no intervalo
é:
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restrito ao intervalo dado:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde
é o deslocamento máximo,
é o tempo e
é uma constante. Encontre
em funçāo de
, dado que
quando
.
Calcule a integral: