Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região formada pelas curvas das equações
,
,
e
. Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas envolvidas:
-
: Essa é uma função racional que representa uma parábola aberta para cima, mas invertida, pois o valor de diminui conforme aumenta. -
: Essa é uma parábola tradicional, mas invertida, abrindo para baixo. -
: Essa é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 1. -
: Essa é uma linha horizontal que corta o eixo no ponto 2.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente onde elas se encontram e definir os limites da área que vamos calcular.
- Interseção entre
e :
Aqui, não há solução real porque
sempre é positivo, então essas duas curvas não se cruzam.
- Interseção entre
e :
- Interseção entre
e :
Novamente, não há solução real, então essas curvas também não se cruzam.
- Interseção entre
e :
- Interseção entre
e :
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos visualizar a região que precisamos calcular. A região está limitada entre
,
,
e
.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nos limites determinados.
Primeiro, identificamos que entre
e
, a função
está acima de
.
Além disso, a linha
está acima de
quando
.
Portanto, precisamos dividir a área em duas partes:
- De
a :
- De
a (considerando que é o limite superior):
Passo 6
Vamos calcular
primeiro:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando numericamente:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Integrando termo a termo:
Então:
Aqui, vemos que a integral no limite inferior
tende ao infinito, o que indica que a área se aproxima de infinito. Porém, como estamos olhando para uma região finita entre
e
, devemos reavaliar nossos limites.
Na verdade, a função
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, mas nossa região está limitada por
. Portanto, precisamos ajustar nosso limite inferior para onde
intercepta
, que já calculamos ser
.
Assim,
não existe porque a interseção ocorre exatamente em
, e não há área adicional a ser calculada.
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
é aproximadamente
unidades de área.
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Calcule a integral:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado: