Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região formada pelas curvas das equações , , e . Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas envolvidas:
  1. : Essa é uma função racional que representa uma parábola aberta para cima, mas invertida, pois o valor de diminui conforme aumenta.
  2. : Essa é uma parábola tradicional, mas invertida, abrindo para baixo.
  3. : Essa é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 1.
  4. : Essa é uma linha horizontal que corta o eixo no ponto 2.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente onde elas se encontram e definir os limites da área que vamos calcular.
  • Interseção entre e :
Aqui, não há solução real porque sempre é positivo, então essas duas curvas não se cruzam.
  • Interseção entre e :
  • Interseção entre e :
Novamente, não há solução real, então essas curvas também não se cruzam.
  • Interseção entre e :
  • Interseção entre e :

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos visualizar a região que precisamos calcular. A região está limitada entre , , e .

Passo 5

Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nos limites determinados.
Primeiro, identificamos que entre e , a função está acima de .
Além disso, a linha está acima de quando .
Portanto, precisamos dividir a área em duas partes:
  1. De a :
  1. De a (considerando que é o limite superior):

Passo 6

Vamos calcular primeiro:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando numericamente:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Integrando termo a termo:
Então:
Aqui, vemos que a integral no limite inferior tende ao infinito, o que indica que a área se aproxima de infinito. Porém, como estamos olhando para uma região finita entre e , devemos reavaliar nossos limites.
Na verdade, a função tende ao infinito quando se aproxima de 0, mas nossa região está limitada por . Portanto, precisamos ajustar nosso limite inferior para onde intercepta , que já calculamos ser .
Assim, não existe porque a interseção ocorre exatamente em , e não há área adicional a ser calculada.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , , e é aproximadamente unidades de área.

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Calcule a integral:
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Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado: