Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a área entre os gráficos das funções e
no intervalo de
de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver qual das duas funções está por cima nesse intervalo. A função começa em
quando
e vai aumentando até
quando
. Já a função
é uma reta constante. Vamos descobrir onde elas se cruzam para saber qual está acima da outra.
Passo 3
Para achar o ponto de cruzamento, igualamos as duas funções:
Resolvendo para
:
Então, as funções se cruzam em
.
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo de
a
em duas partes:
- De
a , onde está acima de . - De
a , onde está acima de .
Passo 5
Vamos calcular a área em cada uma dessas partes usando integrais:
Aqui, subtraímos a função de baixo da função de cima em cada intervalo.
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
- Primeira integral:
Avaliada de
a
:
- Segunda integral:
Avaliada de
a
:
- Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região é
unidades de área.