Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para x restrito ao intervalo dado: f(x) = sen(x); g(x) = 1/2; [0, pi/2]

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a área entre os gráficos das funções e no intervalo de de até . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual das duas funções está por cima nesse intervalo. A função começa em quando e vai aumentando até quando . Já a função é uma reta constante. Vamos descobrir onde elas se cruzam para saber qual está acima da outra.

Passo 3

Para achar o ponto de cruzamento, igualamos as duas funções:
Resolvendo para :
Então, as funções se cruzam em .

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo de a em duas partes:
  1. De a , onde está acima de .
  2. De a , onde está acima de .

Passo 5

Vamos calcular a área em cada uma dessas partes usando integrais:
Aqui, subtraímos a função de baixo da função de cima em cada intervalo.

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. Primeira integral:
Avaliada de a :
  1. Segunda integral:
Avaliada de a :
  1. Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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