Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os gráficos das equações e , e depois calcular a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e linhas retas, além de calcular integrais para encontrar a área entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada equação. A equação é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto . Já a equação é uma linha reta horizontal que passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, vamos identificar os limites de integração para calcular a área. Os limites em vão de a .

Passo 5

A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de integração. Neste caso, a função de cima é e a de baixo é . Então, a área é:

Passo 6

Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 8

Agora, subtraímos os valores obtidos:

Resposta

A área da região delimitada pelas equações e é unidades de área.

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Calcule a integral:
Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado:
Calcule a integral: