Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os gráficos das equações
e
, e depois calcular a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e linhas retas, além de calcular integrais para encontrar a área entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada equação. A equação
é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto
. Já a equação
é uma linha reta horizontal que passa pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, vamos identificar os limites de integração para calcular a área. Os limites em
vão de
a
.
Passo 5
A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de integração. Neste caso, a função de cima é
e a de baixo é
. Então, a área
é:
Passo 6
Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 7
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 8
Agora, subtraímos os valores obtidos:
Resposta
A área da região delimitada pelas equações
e
é
unidades de área.
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Calcule a integral:
Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
Calcule a integral: