Calcule a integral:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Esse problema pertence ao estudo de integrais de funções racionais, onde a gente integra uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula para a integral de
, que está relacionada à função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a forma da nossa função. Temos
. Podemos reescrever isso para se parecer com a fórmula padrão:
Passo 3
Agora, usamos a fórmula de integração que diz:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
porque
.
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral definida de
até
. Substituímos os limites na expressão encontrada:
Passo 6
Simplificando os argumentos das funções arco-tangente:
E sabemos que
e
.
Passo 7
Substituindo esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.