Calcule a integral: integral0^raiz3 / 2 14 y^2+1 d y

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^raiz3 / 2 14 y^2+1 , dy. Esse problema pertence ao estudo de integrais de funções racionais, onde a gente integra uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula para a integral de 1a^2 y^2 + 1, que está relacionada à função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a forma da nossa função. Temos 14 y^2 + 1. Podemos reescrever isso para se parecer com a fórmula padrão:
14 y^2 + 1 = 1(2y)^2 + 1

Passo 3

Agora, usamos a fórmula de integração que diz:
integral 1a^2 y^2 + 1 , dy = 1a arctan(a y) + C
Onde a é uma constante. No nosso caso, a = 2 porque (2y)^2 = 4y^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral 14 y^2 + 1 , dy = 12 arctan(2y) + C

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 até raiz32. Substituímos os limites na expressão encontrada:
[ 12 arctan(2y) ]0^raiz3/2 = 12 arctan(2 cdot raiz32) - 12 arctan(0)

Passo 6

Simplificando os argumentos das funções arco-tangente:
2 cdot raiz32 = raiz3
E sabemos que arctan(raiz3) = pi3 e arctan(0) = 0.

Passo 7

Substituindo esses valores:
12 cdot pi3 - 12 cdot 0 = pi6

Resposta

O valor da integral é pi6.

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