Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral:
. Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular as funções como
e
, além de usar substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral:
. Para facilitar a resolução, uma boa estratégia é simplificar o numerador e o denominador.
Passo 3
Sabemos que
e
. Vamos reescrever a expressão usando essas definições:
Passo 4
Agora, simplificamos essa fração dividindo os numeradores:
Passo 5
Observando que
, podemos reescrever a expressão:
Mas ainda está complicado para integrar, então vamos tentar uma substituição.
Passo 6
Vamos usar a substituição
. Então, derivando ambos os lados:
Precisamos expressar a integral em termos de
.
Passo 7
Reescrevendo a integral original com
:
Com
e
, a integral se torna:
Passo 8
Agora, simplificamos a integral:
Para resolver isso, podemos usar frações parciais. Vamos decompor
em frações mais simples.
Passo 9
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
,
e
.
Passo 10
Resolvendo para
,
e
:
- Para
: - Para
:
Agora, comparando os coeficientes dos termos em:
Passo 11
Então, a decomposição fica:
Agora, voltamos à integral:
Passo 12
Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Passo 13
Substituindo
de volta na expressão:
Podemos simplificar as logaritmos:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.
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a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Calcule a integral: