Calcule a integral: integral sec x tg xsec x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral: integral sec x tan xsec x - 1 dx. Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular as funções como sec x e tan x, além de usar substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral: sec x tan xsec x - 1. Para facilitar a resolução, uma boa estratégia é simplificar o numerador e o denominador.

Passo 3

Sabemos que tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x. Vamos reescrever a expressão usando essas definições:
sec x tan xsec x - 1 = 1cos x cdot sin xcos x1cos x - 1 = sin xcos^2 x1 - cos xcos x

Passo 4

Agora, simplificamos essa fração dividindo os numeradores:
sin xcos^2 x div 1 - cos xcos x = sin xcos^2 x cdot cos x1 - cos x = sin xcos x (1 - cos x)

Passo 5

Observando que sin xcos x = tan x, podemos reescrever a expressão:
sin xcos x (1 - cos x) = tan x1 - cos x
Mas ainda está complicado para integrar, então vamos tentar uma substituição.

Passo 6

Vamos usar a substituição u = cos x. Então, derivando ambos os lados:
du = -sin x dx Rightarrow -du = sin x dx
Precisamos expressar a integral em termos de u.

Passo 7

Reescrevendo a integral original com u = cos x:
integral sec x tan xsec x - 1 dx = integral tan x1 - cos x cdot 1cos x dx = integral sin xcos^2 x (1 - cos x) dx
Com u = cos x e -du = sin x dx, a integral se torna:
integral -duu^2 (1 - u)

Passo 8

Agora, simplificamos a integral:
-integral duu^2 (1 - u)
Para resolver isso, podemos usar frações parciais. Vamos decompor 1u^2 (1 - u) em frações mais simples.

Passo 9

Assumimos que:
1u^2 (1 - u) = Au + Bu^2 + C1 - u
Multiplicando ambos os lados por u^2 (1 - u):
1 = A u (1 - u) + B (1 - u) + C u^2
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de A, B e C.

Passo 10

Resolvendo para A, B e C:
  • Para u = 0: 1 = B cdot 1 Rightarrow B = 1
  • Para u = 1: 1 = C cdot 1^2 Rightarrow C = 1
    Agora, comparando os coeficientes dos termos em u:
0 = A + C Rightarrow A = -1

Passo 11

Então, a decomposição fica:
1u^2 (1 - u) = -1u + 1u^2 + 11 - u
Agora, voltamos à integral:
-integral ( -1u + 1u^2 + 11 - u ) du = integral ( 1u - 1u^2 - 11 - u ) du

Passo 12

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1u du = ln |u|
integral -1u^2 du = 1u
integral -11 - u du = -ln |1 - u|
Juntando tudo:
ln |u| + 1u - ln |1 - u| + C

Passo 13

Substituindo u = cos x de volta na expressão:
ln |cos x| + 1cos x - ln |1 - cos x| + C
Podemos simplificar as logaritmos:
ln ( cos x1 - cos x ) + sec x + C

Resposta

A integral vale ln ( cos x1 - cos x ) + sec x + C, onde C é a constante de integração.

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