Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral: . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular as funções como e , além de usar substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral: . Para facilitar a resolução, uma boa estratégia é simplificar o numerador e o denominador.

Passo 3

Sabemos que e . Vamos reescrever a expressão usando essas definições:

Passo 4

Agora, simplificamos essa fração dividindo os numeradores:

Passo 5

Observando que , podemos reescrever a expressão:
Mas ainda está complicado para integrar, então vamos tentar uma substituição.

Passo 6

Vamos usar a substituição . Então, derivando ambos os lados:
Precisamos expressar a integral em termos de .

Passo 7

Reescrevendo a integral original com :
Com e , a integral se torna:

Passo 8

Agora, simplificamos a integral:
Para resolver isso, podemos usar frações parciais. Vamos decompor em frações mais simples.

Passo 9

Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos os valores de , e .

Passo 10

Resolvendo para , e :
  • Para :
  • Para :
    Agora, comparando os coeficientes dos termos em :

Passo 11

Então, a decomposição fica:
Agora, voltamos à integral:

Passo 12

Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:

Passo 13

Substituindo de volta na expressão:
Podemos simplificar as logaritmos:

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

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a.
b.
c.
d.
Calcule a integral: