Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parametro cresce.
a.
b.
c.
d.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para desenhar o gráfico de curvas definidas por equações vetoriais e indicar a direção em que o parâmetro aumenta. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial para resolver isso. Precisamos entender como cada componente da equação vetorial influencia na forma da curva e como o parâmetro afeta a direção do movimento.

Passo 2

Letra a:

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
  • : isso significa que aumenta linearmente com .
  • e : essas componentes formam um círculo no plano com raio 1, já que .
Gráfico:
A curva será uma hélice que se move ao longo do eixo , enquanto dá voltas circulares no plano .
Direção do parâmetro :
À medida que aumenta, aumenta, e o ponto gira no sentido anti-horário no plano .

Passo 3

Letra b:

Analisando as componentes:
  • e : juntos, esses formam um círculo no plano com raio 1.
  • : esse valor é constante, então a curva está sempre no plano .
Gráfico:
A curva é um círculo no plano horizontal .
Direção do parâmetro :
À medida que aumenta, o ponto se move no sentido anti-horário no círculo.

Passo 4

Letra c:

Aqui, temos uma curva no plano :
Gráfico:
Essa é uma parábola inclinada. Como pode ser positivo ou negativo, a curva se estende para os dois lados do eixo .
Direção do parâmetro :
À medida que aumenta de negativo para positivo, o x muda de negativo para positivo, passando pelo ponto .

Passo 5

Letra d:

Analisando as componentes:
Gráfico:
Essa é uma linha reta no espaço 3D.
Direção do parâmetro :
À medida que aumenta, , e mudam linearly. O movimento segue na direção do vetor .

Resposta

a. Hélice ao longo do eixo com direção crescente de .
b. Círculo no plano , movendo-se anti-horário conforme aumenta.
c. Parábola inclinada no plano , movendo-se da esquerda para a direita à medida que aumenta.
d. Linha reta no espaço 3D na direção do vetor conforme cresce.

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