Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parametro cresce.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para desenhar o gráfico de curvas definidas por equações vetoriais e indicar a direção em que o parâmetro
aumenta. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial para resolver isso. Precisamos entender como cada componente da equação vetorial influencia na forma da curva e como o parâmetro
afeta a direção do movimento.
Passo 2
Letra a:
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
-
: isso significa que aumenta linearmente com . -
e : essas componentes formam um círculo no plano com raio 1, já que .
Gráfico:
A curva será uma hélice que se move ao longo do eixo , enquanto dá voltas circulares no plano
.
A curva será uma hélice que se move ao longo do eixo
Direção do parâmetro
:
À medida que aumenta,
aumenta, e o ponto gira no sentido anti-horário no plano
.
À medida que
Passo 3
Letra b:
Analisando as componentes:
- e
: juntos, esses formam um círculo no plano com raio 1. -
: esse valor é constante, então a curva está sempre no plano .
Gráfico:
A curva é um círculo no plano horizontal .
A curva é um círculo no plano horizontal
Direção do parâmetro
:
À medida que aumenta, o ponto se move no sentido anti-horário no círculo.
À medida que
Passo 4
Letra c:
Aqui, temos uma curva no plano
:
Gráfico:
Essa é uma parábola inclinada. Como pode ser positivo ou negativo, a curva se estende para os dois lados do eixo
.
Essa é uma parábola inclinada. Como
Direção do parâmetro
:
À medida que aumenta de negativo para positivo, o x muda de negativo para positivo, passando pelo ponto
.
À medida que
Passo 5
Letra d:
Analisando as componentes:
Gráfico:
Essa é uma linha reta no espaço 3D.
Essa é uma linha reta no espaço 3D.
Direção do parâmetro
:
À medida que aumenta,
,
e
mudam linearly. O movimento segue na direção do vetor
.
À medida que
Resposta
a. Hélice ao longo do eixo
com direção crescente de
.
b. Círculo no plano , movendo-se anti-horário conforme
aumenta.
c. Parábola inclinada no plano , movendo-se da esquerda para a direita à medida que
aumenta.
d. Linha reta no espaço 3D na direção do vetor conforme
cresce.
b. Círculo no plano
c. Parábola inclinada no plano
d. Linha reta no espaço 3D na direção do vetor
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