Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
de
até
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a área da região delimitada pelos gráficos das funções e
no intervalo de
até
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quais das duas funções, ou
, está acima da outra no intervalo dado. Isso nos ajudará a determinar a função a ser subtraída da outra na integral.
Passo 3
Vamos comparar os valores de e
no intervalo de
até
. No início, em
:
Então,
está acima de nesse ponto.
Passo 4
Para confirmar que essa relação se mantém ao longo de todo o intervalo, podemos analisar o comportamento das funções e
. Sabemos que no primeiro quadrante (
),
diminui de 1 para 0, enquanto aumenta de 0 para 1. Portanto, elas são iguais em
, mas dado o intervalo específico fornecido,
permanece acima de .
Passo 5
Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da função de cima menos a função de baixo:
onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicamos os limites de integração:
Passo 8
Simplificamos os valores conhecidos:
Portanto:
Resposta
A área da região delimitada pelas funções e
no intervalo especificado é:
Exercícios relacionados
Mostre que a soma das intersecções com os eixos
e
de qualquer plano tangente à superfície
é uma constante.
Calcule a integral tripla
onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Considere que
seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Calcule as seguintes quantidades:
A área de .
A área de