Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções e de até

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área da região delimitada pelos gráficos das funções e no intervalo de até . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais das duas funções, ou , está acima da outra no intervalo dado. Isso nos ajudará a determinar a função a ser subtraída da outra na integral.

Passo 3

Vamos comparar os valores de e no intervalo de até . No início, em :
Então, está acima de nesse ponto.

Passo 4

Para confirmar que essa relação se mantém ao longo de todo o intervalo, podemos analisar o comportamento das funções e . Sabemos que no primeiro quadrante ( ), diminui de 1 para 0, enquanto aumenta de 0 para 1. Portanto, elas são iguais em , mas dado o intervalo específico fornecido, permanece acima de .

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da função de cima menos a função de baixo:
onde e .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
Á

Passo 8

Simplificamos os valores conhecidos:
Portanto:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas funções e no intervalo especificado é:

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