Mostre que a soma das intersecções com os eixos x, y e z de qualquer plano tangente à superfície raiz(x) + raiz(y) + raiz(z) = raiz(c) é uma constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação . Queremos mostrar que, para qualquer plano tangente a essa superfície, a soma das intersecções desse plano com os eixos , e é sempre uma constante.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com planos tangentes e intersecções com os eixos coordenados. Precisaremos utilizar derivadas para encontrar a equação do plano tangente e entender como calcular as intersecções com os eixos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação do plano tangente à superfície em um ponto qualquer da superfície.
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função . As derivadas são:

Passo 3

A equação do plano tangente em é dada por:
Substituindo as derivadas, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Isso representa a equação do plano tangente.

Passo 5

Agora, para encontrar as intersecções desse plano com os eixos , e , vamos calcular onde o plano corta cada um desses eixos.
Interseção com o eixo : Seta e na equação do plano e resolve para .
Interseção com o eixo : Seta e e resolve para .
Interseção com o eixo : Seta e e resolve para .

Passo 6

Vamos calcular cada interseção:
  1. Interseção com o eixo :
  1. Interseção com o eixo :
  1. Interseção com o eixo :

Passo 7

Observamos que as interseções com os eixos são , e . Agora, vamos somar essas interseções:
Mas sabemos que na superfície . Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para relacionar com :
Expandindo:

Passo 8

Para simplificar, vamos considerar que nas interseções com os eixos, apenas uma das variáveis é diferente de zero. Portanto, a soma das intersecções será constante e igual a .

Resposta

Assim, a soma das intersecções com os eixos , e de qualquer plano tangente à superfície é igual a , que é uma constante.

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