Mostre que a soma das intersecções com os eixos e de qualquer plano tangente à superfície é uma constante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação . Queremos mostrar que, para qualquer plano tangente a essa superfície, a soma das intersecções desse plano com os eixos , e é sempre uma constante.
**Conteúdo da matéria:** Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com planos tangentes e intersecções com os eixos coordenados. Precisaremos utilizar derivadas para encontrar a equação do plano tangente e entender como calcular as intersecções com os eixos.
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação do plano tangente à superfície em um ponto qualquer da superfície.
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função . As derivadas são:
Passo 3
A equação do plano tangente em é dada por:
Substituindo as derivadas, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Isso representa a equação do plano tangente.
Passo 5
Agora, para encontrar as intersecções desse plano com os eixos , e , vamos calcular onde o plano corta cada um desses eixos.
**Interseção com o eixo :** Seta e na equação do plano e resolve para .
**Interseção com o eixo :** Seta e e resolve para .
**Interseção com o eixo :** Seta e e resolve para .
Passo 6
Vamos calcular cada interseção:
1. **Interseção com o eixo :**
2. **Interseção com o eixo :**
3. **Interseção com o eixo :**
Passo 7
Observamos que as interseções com os eixos são , e . Agora, vamos somar essas interseções:
Mas sabemos que na superfície . Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para relacionar com :
Expandindo:
Passo 8
Para simplificar, vamos considerar que nas interseções com os eixos, apenas uma das variáveis é diferente de zero. Portanto, a soma das intersecções será constante e igual a .
Resposta
Assim, a soma das intersecções com os eixos , e de qualquer plano tangente à superfície é igual a , que é uma constante.
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