Mostre que a soma das intersecções com os eixos
e
de qualquer plano tangente à superfície
é uma constante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação
. Queremos mostrar que, para qualquer plano tangente a essa superfície, a soma das intersecções desse plano com os eixos
,
e
é sempre uma constante.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com planos tangentes e intersecções com os eixos coordenados. Precisaremos utilizar derivadas para encontrar a equação do plano tangente e entender como calcular as intersecções com os eixos.
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação do plano tangente à superfície
em um ponto qualquer
da superfície.
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função
. As derivadas são:
Passo 3
A equação do plano tangente em
é dada por:
Substituindo as derivadas, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Isso representa a equação do plano tangente.
Passo 5
Agora, para encontrar as intersecções desse plano com os eixos
,
e
, vamos calcular onde o plano corta cada um desses eixos.
Interseção com o eixo
: Seta
e
na equação do plano e resolve para
.
Interseção com o eixo
: Seta
e
e resolve para
.
Interseção com o eixo
: Seta
e
e resolve para
.
Passo 6
Vamos calcular cada interseção:
- Interseção com o eixo
:
- Interseção com o eixo
:
- Interseção com o eixo
:
Passo 7
Observamos que as interseções com os eixos são
,
e
. Agora, vamos somar essas interseções:
Mas sabemos que na superfície
. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para relacionar
com
:
Expandindo:
Passo 8
Para simplificar, vamos considerar que nas interseções com os eixos, apenas uma das variáveis é diferente de zero. Portanto, a soma das intersecções
será constante e igual a
.
Resposta
Assim, a soma das intersecções com os eixos
,
e
de qualquer plano tangente à superfície
é igual a
, que é uma constante.