Calcule a integral tripla integral triplaG^square x y z d V onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico z=2-x^2 e pelos planos z=0, y=x e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O problema pede para calcular a integral integral triplaG x y z , dV, onde G é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico z = 2 - x^2 e pelos planos z = 0, y = x e y = 0. Vamos usar cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável ( x, y, z). Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas ( x, y, z) são positivas ou zero.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites para x. Olhando para a equação do cilindro parabólico z = 2 - x^2 e sabendo que z >= 0, temos:
2 - x^2 >= 0 implies x^2 <= 2 implies x <= raiz2
Então, x varia de 0 a raiz2.

Passo 4

Agora, para cada valor de x, vamos determinar os limites para y. Sabemos que y varia de 0 até y = x. Portanto, para cada x, y vai de 0 a x.
0 <= y <= x

Passo 5

Por último, para cada par (x, y), vamos determinar os limites para z. Sabemos que z varia do plano z = 0 até o cilindro z = 2 - x^2. Portanto:
0 <= z <= 2 - x^2

Passo 6

Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaG x y z , dV = integral0^raiz2 integral0^x integral0^2 - x^2 x y z , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^2 - x^2 x y z , dz = x y [ z^22 ]0^2 - x^2 = x y ( (2 - x^2)^22 )

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral dupla e integramos em relação a y:
integral0^x x y ( (2 - x^2)^22 ) dy = x (2 - x^2)^22 integral0^x y , dy = x (2 - x^2)^22 [ y^22 ]0^x = x (2 - x^2)^2 cdot x^24
= x^3 (2 - x^2)^24

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a x:
integral0^raiz2 x^3 (2 - x^2)^24 , dx
Vamos expandir (2 - x^2)^2:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4
Então, a integral fica:
14 integral0^raiz2 x^3 (4 - 4x^2 + x^4) , dx = 14 integral0^raiz2 (4x^3 - 4x^5 + x^7) , dx
Agora, integramos cada termo individualmente:
14 [ 4x^44 - 4x^66 + x^88 ]0^raiz2 = 14 [ x^4 - 2x^63 + x^88 ]0^raiz2
Substituindo x = raiz2:
x^4 = (raiz2)^4 = 4
x^6 = (raiz2)^6 = 8
x^8 = (raiz2)^8 = 16
Portanto:
14 ( 4 - 2 cdot 83 + 168 ) = 14 ( 4 - 163 + 2 ) = 14 ( 6 - 163 ) = 14 ( 18 - 163 ) = 14 ( 23 ) = 212 = 16

Resposta

A integral tripla vale dfrac16.

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