Calcule a integral tripla onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O problema pede para calcular a integral , onde G é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Vamos usar cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável ( , , ). Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas ( , , ) são positivas ou zero.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites para . Olhando para a equação do cilindro parabólico e sabendo que , temos:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, para cada valor de , vamos determinar os limites para . Sabemos que varia de até . Portanto, para cada , vai de a .

Passo 5

Por último, para cada par , vamos determinar os limites para . Sabemos que varia do plano até o cilindro . Portanto:

Passo 6

Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral dupla e integramos em relação a :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :
Vamos expandir :
Então, a integral fica:
Agora, integramos cada termo individualmente:
Substituindo :
Portanto:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções e de até
plano intercepta o cilindro em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto .
Considere que seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Calcule as seguintes quantidades:
A área de .
Calcule a integral iterada