Calcule a integral tripla
onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O problema pede para calcular a integral
, onde G é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Vamos usar cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável (
,
,
). Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas (
,
,
) são positivas ou zero.
Passo 3
Vamos começar determinando os limites para
. Olhando para a equação do cilindro parabólico
e sabendo que
, temos:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, para cada valor de
, vamos determinar os limites para
. Sabemos que
varia de
até
. Portanto, para cada
,
vai de
a
.
Passo 5
Por último, para cada par
, vamos determinar os limites para
. Sabemos que
varia do plano
até o cilindro
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral dupla e integramos em relação a
:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Agora, integramos cada termo individualmente:
Substituindo
:
Portanto:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
de
até
Considere que
seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Calcule as seguintes quantidades:
A área de .
A área de
Calcule a integral iterada