Considere que seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Calcule as seguintes quantidades:
A área de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Nosso objetivo é calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

O primeiro passo para calcular a área entre duas curvas é encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos dará os limites de integração. Para isso, igualamos as duas funções:
Reorganizando:
Resolvendo a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima da função nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos configurar a integral definida que representa a área entre as duas curvas:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Calcule a integral tripla onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções e de até
Calcule a integral iterada
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral