Considere que
seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Calcule as seguintes quantidades:
A área de
.
A área de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Nosso objetivo é calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
O primeiro passo para calcular a área entre duas curvas é encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos dará os limites de integração. Para isso, igualamos as duas funções:
Reorganizando:
Resolvendo a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração
. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima da função
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos configurar a integral definida que representa a área entre as duas curvas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
de
até
Calcule a integral iterada
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral