plano intercepta o cilindro em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o plano intercepta o cilindro , formando uma elipse. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como gradientes e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as superfícies envolvidas:
Cilindro:
Plano:
O ponto de interesse é , que está na interseção dessas duas superfícies.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar um vetor que seja tangente à elipse no ponto dado. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando os gradientes das equações das superfícies.
O gradiente de uma função nos dá a direção de máxima inclinação, ou seja, perpendicular à superfície. Então, o vetor tangente à elipse será perpendicular aos gradientes das duas superfícies.
Passo 4
Calculando os gradientes das duas superfícies:
Gradiente do Cilindro:
No ponto , fica .
Gradiente do Plano:
Esse gradiente é o mesmo em qualquer ponto do plano.
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor tangente, fazemos o produto vetorial dos dois gradientes calculados:
Calculando:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
Passo 6
Agora que temos o vetor tangente e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor tangente.