Ache a área da região delimitada pelos gráficos de y = 1 / (x^2 + 4x + 29), y = 0, x = -2 e x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região delimitada pelos gráficos de , , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais para calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar a função dada entre os limites de e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos aqui. A função é uma parábola invertida e deslocada, mas como o denominador nunca é zero, o gráfico nunca toca o eixo (ou seja, é uma assíntota horizontal). As linhas verticais e vão definir os limites laterais da área que queremos calcular.

Passo 3

Para encontrar a área entre essa curva e o eixo , no intervalo de a , vamos usar a integral definida. A área pode ser calculada assim:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Para isso, completamos o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 5

Reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
Aqui, e , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração.

Passo 7

Primeiro, para :
Depois, para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada é unidades de área.

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