Ache a área da região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região delimitada pelos gráficos de
,
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais para calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar a função dada entre os limites de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos aqui. A função
é uma parábola invertida e deslocada, mas como o denominador nunca é zero, o gráfico nunca toca o eixo
(ou seja,
é uma assíntota horizontal). As linhas verticais
e
vão definir os limites laterais da área que queremos calcular.
Passo 3
Para encontrar a área entre essa curva e o eixo
, no intervalo de
a
, vamos usar a integral definida. A área
pode ser calculada assim:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Para isso, completamos o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 5
Reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
Aqui,
e
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração.
Passo 7
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada é
unidades de área.