Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
I)
; eixo
I)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas funções
,
e
, e depois calcular o volume do sólido que essa região forma quando gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente a técnica de integração para volumes de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram. Isso é importante para saber os limites de integração. Igualamos
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Então, as duas funções se cruzam quando
. Também sabemos que
está definida para
e
para
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região que nos interessa está entre
e
. De
a
, apenas
está definida, e de
a
, temos as duas funções.
Passo 4
Para calcular o volume gerado pela rotação em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume
é:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo. No nosso caso, de
a
,
e
.
Passo 5
Vamos dividir o cálculo em duas partes:
- De
a , apenas está presente. - De
a , temos as duas funções.
Primeiro, calculamos o volume de
a
:
Passo 6
Resolvendo a integral de
:
Passo 7
Agora, calculamos o volume de
a
:
Passo 8
Resolvendo a integral de
:
Passo 9
Finalmente, somamos os dois volumes para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.