Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
I) y = raiz(x + 1), y = raiz(2 x); y = 0; eixo -x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas funções , e , e depois calcular o volume do sólido que essa região forma quando gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente a técnica de integração para volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram. Isso é importante para saber os limites de integração. Igualamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Então, as duas funções se cruzam quando . Também sabemos que está definida para e para .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região que nos interessa está entre e . De a , apenas está definida, e de a , temos as duas funções.

Passo 4

Para calcular o volume gerado pela rotação em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Onde é a função de cima e é a função de baixo. No nosso caso, de a , e .

Passo 5

Vamos dividir o cálculo em duas partes:
  1. De a , apenas está presente.
  2. De a , temos as duas funções.
Primeiro, calculamos o volume de a :

Passo 6

Resolvendo a integral de :

Passo 7

Agora, calculamos o volume de a :

Passo 8

Resolvendo a integral de :

Passo 9

Finalmente, somamos os dois volumes para obter o volume total:

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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