Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
g) ; eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que esboçar a região delimitada pelas curvas das equações e . Depois, precisamos calcular o volume do sólido que é formado quando essa região é girada em torno do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre:
  • Esboço de curvas: para visualizar a região.
  • Método dos discos ou anéis: para calcular o volume de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. : Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites da nossa região.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Agora, substituímos esses valores de em uma das equações para encontrar :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas:
  • A parábola passa por , , , etc.
  • A reta também passa por e .
A região delimitada por essas curvas está entre e .

Passo 5

Para calcular o volume da rotação em torno do eixo , vamos usar o método dos anéis. A ideia é integrar a diferença entre as áreas dos círculos formados pelas duas curvas em cada fatia infinitesimal de .
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é a função externa.
  • é a função interna.
  • e são os limites de integração.

Passo 6

Identificamos quais funções são externas e internas em relação ao eixo de rotação :
  • Função externa: Parábola
  • Função interna: Reta
Agora, expressamos as distâncias ao eixo . Como o eixo é vertical, a distância é simplesmente o valor de :

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 9

Substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
Então:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Se , ache a área da região delimitada pelo gráfico de e pelo eixo , de a .
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
c) ; eixo ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
i) ; eixo
Ache a área da região delimitada pelos gráficos de e .