Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
g)
; eixo
;
g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que esboçar a região delimitada pelas curvas das equações
e
. Depois, precisamos calcular o volume do sólido que é formado quando essa região é girada em torno do eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre:
- Esboço de curvas: para visualizar a região.
- Método dos discos ou anéis: para calcular o volume de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos esses valores de
em uma das equações para encontrar
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas:
- A parábola
passa por , , , etc. - A reta
também passa por e .
A região delimitada por essas curvas está entre
e
.
Passo 5
Para calcular o volume da rotação em torno do eixo
, vamos usar o método dos anéis. A ideia é integrar a diferença entre as áreas dos círculos formados pelas duas curvas em cada fatia infinitesimal de
.
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a função externa. -
é a função interna. -
e são os limites de integração.
Passo 6
Identificamos quais funções são externas e internas em relação ao eixo de rotação
:
- Função externa: Parábola
- Função interna: Reta
Agora, expressamos as distâncias ao eixo
. Como o eixo é vertical, a distância é simplesmente o valor de
:
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 9
Substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Se
, ache a área da região delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo
, de
a
.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
c) ; eixo
;
c)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
i) ; eixo
i)
Ache a área da região delimitada pelos gráficos de
e
.