Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
d) ; eixo ;
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
O exercício pede para esboçarmos a região delimitada pelas equações e , e depois calcularmos o volume do sólido formado ao girar essa região em torno do eixo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, para encontrar esse volume.
Passo 2
Entendendo as Equações e Esboçando a Região
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
é uma parábola que abre para o lado negativo do eixo .
representa o eixo .
Para esboçar a região, encontraremos os pontos de interseção dessas curvas. Igualando :
Então, a região está entre e .
Passo 3
Configurando o Método dos Discos para Calcular o Volume
Como vamos girar a região em torno do eixo (que é basicamente o mesmo que girar em torno do eixo ), podemos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a distância da curva ao eixo de rotação.
Passo 4
Determinação da Função e Limites de Integração
Neste caso, a função é simplesmente a função dada pela equação , pois representa a distância da curva ao eixo . Os limites de integração são de a .
Passo 5
Montando a Integral para o Volume
Substituindo na fórmula do método dos discos:
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar.
Passo 6
Expandindo a Expressão Dentro da Integral
Expandindo :
Então, a integral fica:
Passo 7
Calculando a Integral
Integrando termo a termo:
Somando os resultados:
Para simplificar, encontramos um denominador comum: