Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
i) ; eixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região delimitada pelas equações e , e depois calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo dos . Estamos trabalhando com Geometria Analítica e Cálculo, especificamente com o método dos discos ou anéis para volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações. A equação representa a parte superior de um círculo com raio 5, centrado na origem. Já é uma linha horizontal que corta esse círculo. Precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as curvas se intersectam em e . Isso significa que nossa região vai de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume do sólido gerado pela revolução dessa região em torno do eixo dos . Como temos duas funções, usamos o método dos anéis (ou discos e arruelas). A fórmula para o volume é:
Aqui, e , e nossos limites de integração são e . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
g) ; eixo ;
Se , ache a área da região delimitada pelo gráfico de e pelo eixo , de a .
Ache a área da região delimitada pelos gráficos de e .
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
d) ; eixo ;