Ache a área da região entre os gráficos de e g para restrito ao intervalo dado.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área entre os gráficos das funções e no intervalo de que vai de até . Aqui, a matéria envolvida é cálculo, mais especificamente o cálculo de integrais para determinar áreas entre curvas. Vamos precisar calcular a integral da diferença entre as funções nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a área entre e . Como , queremos encontrar a área entre a curva de e o eixo nesse intervalo. Para isso, vamos integrar o valor absoluto da diferença entre as duas funções de até .
Passo 3
Vamos ver o comportamento da função nesse intervalo. Sabemos que a tangente é negativa quando está entre e , e positiva entre e . Então, de a , é negativa, e de a , é positiva. Portanto, a área total será a soma das áreas dessas duas partes.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes:
De a , onde é negativa:
De a , onde é positiva:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Sabemos que a integral de é .
Primeiro, para :
Como , temos:
Á
Agora, para Á:
Á
Passo 6
Agora, somamos as duas áreas:
ÁÁÁ
Resposta
A área da região entre os gráficos de e no intervalo dado é unidades de área.