Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e) y=x^2, y=4-x^2 eixo -x;

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente desenhar a região limitada pelas curvas e e, depois, calcular o volume do sólido que se forma quando essa região é girada em torno do eixo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que temos: é uma parábola que abre pra cima, e é uma parábola que abre pra baixo. Para esboçar a região, precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Somando dos dois lados:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região limitada. Entre e , a curva está acima de . Isso significa que para cada valor de nesse intervalo, a diferença será .

Passo 5

Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
Nesse caso, e , e os limites de integração são e .

Passo 6

Substituímos na fórmula:
Vamos expandir :
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 7

Agora, o volume é:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 8

Calculando nos limites:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados