Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
e)
eixo
;
e)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente desenhar a região limitada pelas curvas
e
e, depois, calcular o volume do sólido que se forma quando essa região é girada em torno do eixo
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que temos:
é uma parábola que abre pra cima, e
é uma parábola que abre pra baixo. Para esboçar a região, precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Somando
dos dois lados:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região limitada. Entre
e
, a curva
está acima de
. Isso significa que para cada valor de
nesse intervalo, a diferença
será
.
Passo 5
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume
é:
Nesse caso,
e
, e os limites de integração são
e
.
Passo 6
Substituímos na fórmula:
Vamos expandir
:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 7
Agora, o volume é:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 8
Calculando nos limites:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.