Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
a)
; eixo
;
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede: precisamos esboçar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Depois, vamos calcular o volume do sólido que se forma quando essa região gira em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente o método de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As retas
e
definem onde começa e onde termina a nossa região. Portanto, vamos integrar de
até
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, o método mais adequado é o método dos discos. A fórmula para o volume
usando esse método é:
onde
é a função que define a fronteira superior da região.
Passo 4
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.
Exercícios relacionados
Ache a área da região entre os gráficos de
e g para
restrito ao intervalo dado.
d)
d)
Ache a área da região entre os gráficos de
e g para
restrito ao intervalo dado.
c)
c)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
e) eixo
;
e)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
b) ; eixo
;
b)