Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
i)
;
i)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas equações
e
, e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e integração para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
-
: Essa é a equação de uma parábola. Para identificar melhor, podemos reescrever:
Isso indica que é uma parábola que abre para a direita, com vértice no ponto
.
-
: Essa é a equação de uma reta, com inclinação 1 e intercepto em .
Passo 3
Para esboçar a região delimitada por essas duas curvas, precisamos encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Desenvolvendo a equação:
Levendo todos os termos para um lado:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora, encontramos os valores de
correspondentes usando
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 8
Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar as duas curvas:
-
A parábola
abre para a direita, com vértice em . -
A reta
passa pelos pontos e , por exemplo.
A região delimitada por essas curvas estará entre
e
.
Passo 9
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de
a
.
Primeiro, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo:
- Para
entre 3 e 9, a reta estará acima da parábola (considerando apenas o ramo superior da parábola).
Então, a área
é dada por:
Passo 10
Vamos calcular a integral:
Primeiro, calculamos
:
Avaliado de 3 a 9:
Agora, calculamos
. Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja
, então
ou
.
A integral fica:
Substituindo
:
Avaliado de 3 a 9:
Para
:
Para
:
Então, a integral definida é:
Passo 11
Agora, juntando tudo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas equações é
unidades de área.
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
h) ;
h)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;
f)
Ache a área da região entre os gráficos de
e g para
restrito ao intervalo dado.
c)
c)
Ache a área da região entre os gráficos de
e g para
restrito ao intervalo dado.
d)
d)