Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
i) ;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas equações e , e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e integração para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. : Essa é a equação de uma parábola. Para identificar melhor, podemos reescrever:
Isso indica que é uma parábola que abre para a direita, com vértice no ponto .
  1. : Essa é a equação de uma reta, com inclinação 1 e intercepto em .

Passo 3

Para esboçar a região delimitada por essas duas curvas, precisamos encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Desenvolvendo a equação:
Levendo todos os termos para um lado:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, encontramos os valores de correspondentes usando :
  1. Para :
  1. Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 8

Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar as duas curvas:
  • A parábola abre para a direita, com vértice em .
  • A reta passa pelos pontos e , por exemplo.
A região delimitada por essas curvas estará entre e .

Passo 9

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de a .
Primeiro, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo:
  • Para entre 3 e 9, a reta estará acima da parábola (considerando apenas o ramo superior da parábola).
Então, a área é dada por:

Passo 10

Vamos calcular a integral:
Primeiro, calculamos :
Avaliado de 3 a 9:
Agora, calculamos . Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .
A integral fica:
Substituindo :
Avaliado de 3 a 9:
Para :
Para :
Então, a integral definida é:

Passo 11

Agora, juntando tudo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pelas equações é unidades de área.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
h) ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;
Ache a área da região entre os gráficos de e g para restrito ao intervalo dado.
c)
Ache a área da região entre os gráficos de e g para restrito ao intervalo dado.
d)