Ache a área da região entre os gráficos de f e g para x restrito ao intervalo dado.
f(x) = 6 - 3x^2 ; g(x) = 3x ; [0, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisa fazer: queremos encontrar a área entre os gráficos das funções e no intervalo de de 0 a 2. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Primeiro, vamos identificar qual função está por cima no intervalo e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro passo importante: descobrir qual função está acima da outra no intervalo de 0 a 2. Para isso, vamos comparar e .
Calculando :
Vamos ver onde essa diferença é positiva ou negativa. Pegando um valor de teste, por exemplo, :
Isso mostra que as funções se cruzam em . Vamos verificar os valores antes e depois desse ponto:
  • Para :
  • Para :
Então, de 0 a 1, está acima de , e de 1 a 2, está acima de .

Passo 3

Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, vamos calcular a área separadamente para [0,1] e [1,2].
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Áçãçã
Então:
  • Para [0,1]:
Á
  • Para [1,2]:
Á

Passo 4

Vamos calcular Á:
Á
Integrando cada termo:
Então:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular Á:
Á
Integrando cada termo:
Então:
Á
Calculando para :
Calculando para :
Então:
Á

Passo 6

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região entre os gráficos de e no intervalo é 9 unidades quadradas.

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