Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisa fazer: queremos encontrar a área entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
de 0 a 2. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Primeiro, vamos identificar qual função está por cima no intervalo e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro passo importante: descobrir qual função está acima da outra no intervalo de 0 a 2. Para isso, vamos comparar
e
.
Calculando
:
Vamos ver onde essa diferença é positiva ou negativa. Pegando um valor de teste, por exemplo,
:
Isso mostra que as funções se cruzam em
. Vamos verificar os valores antes e depois desse ponto:
- Para
:
- Para
:
Então, de 0 a 1,
está acima de
, e de 1 a 2,
está acima de
.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, vamos calcular a área separadamente para [0,1] e [1,2].
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Então:
- Para [0,1]:
- Para [1,2]:
Passo 4
Vamos calcular
:
Integrando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Integrando cada termo:
Então:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então:
Passo 6
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total:
Resposta
A área da região entre os gráficos de
e
no intervalo
é 9 unidades quadradas.
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Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.
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e (b)
.
Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.