Ache a área da região entre os gráficos de e para restrito ao intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente achar a área da região entre os gráficos das funções e no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas funções se cruzam no intervalo dado. Ou seja, queremos encontrar os valores de onde .

Passo 3

Para resolver , podemos dividir ambos os lados por (quando ):

Passo 4

Solução da equação no intervalo ocorre quando e .

Passo 5

Agora, vamos determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo definido por esses pontos de interseção. Observando os gráficos:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .
  • De a , está novamente acima de .

Passo 6

A área entre as curvas é a soma das áreas de cada subintervalo, calculadas pela integral da função de cima menos a de baixo. Então:
Á

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
Aplicando os limites:
  • Primeiro intervalo :
  • Segundo intervalo :
Sabendo que e , e :
  • Terceiro intervalo :

Passo 8

Somando todas as áreas:
Á

Resposta

A área da região entre os gráficos de e no intervalo é unidades de área.

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