Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente achar a área da região entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas funções se cruzam no intervalo dado. Ou seja, queremos encontrar os valores de
onde
.
Passo 3
Para resolver
, podemos dividir ambos os lados por
(quando
):
Passo 4
Solução da equação
no intervalo
ocorre quando
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo definido por esses pontos de interseção. Observando os gráficos:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de . - De
a , está novamente acima de .
Passo 6
A área entre as curvas é a soma das áreas de cada subintervalo, calculadas pela integral da função de cima menos a de baixo. Então:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente:
Aplicando os limites:
- Primeiro intervalo
:
- Segundo intervalo
:
Sabendo que
e
, e
:
- Terceiro intervalo
:
Passo 8
Somando todas as áreas:
Resposta
A área da região entre os gráficos de
e
no intervalo
é
unidades de área.
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e
para
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Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
Encontre usando a definição as derivadas das seguintes funções: