Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a) x e (b) y.
y = x + 3 ; x = -y^2 + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelos gráficos das funções e . Vamos usar integrais para isso, primeiro integrando em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integração e como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar os gráficos das duas equações para visualizar a região que estamos procurando. A equação é uma reta, e é uma parábola voltada para a esquerda.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde a região começa e termina. Igualando em , temos:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos e . Esses são os limites para a variável .

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de para integrar em relação a . Temos:
A largura da região em cada é a diferença entre e :

Passo 5

Para encontrar a área integrando em relação a , usamos:
Á
Vamos calcular essa integral:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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