Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a) e (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada por quatro curvas: , , e . Vamos usar integrais para calcular essa área de duas maneiras diferentes: integrando em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender como as funções se comportam e onde elas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar rapidamente os gráficos dessas curvas para visualizar a região que queremos calcular. A curva é uma parábola que abre para cima, é uma reta que desce, e e são linhas verticais. Vendo isso, podemos perceber que a região fica entre e , e entre as curvas e .

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as somas de integrais integrando em relação a . Para isso, precisamos identificar qual função está no topo e qual está embaixo no intervalo de a . Observando as funções, está acima de nesse intervalo. A área pode ser calculada pela integral da diferença das funções:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Passo 4

Agora, vamos estabelecer as somas de integrais integrando em relação a . Para isso, precisamos reescrever as equações em função de . A função vira e vira . Precisamos encontrar os limites de onde essas curvas se intersectam.

Passo 5

Para encontrar os limites de , igualamos e . Substituindo de uma equação na outra:
Como deve ser real, resolvemos:
Portanto, ou . Isso significa que os limites de vão de a .

Passo 6

Com os limites de definidos, podemos agora expressar a área integrando em relação a . Precisamos identificar qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de a . A função está à direita de nesse intervalo. A área é então:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é dada por:
(a) Integrando em relação a :
Á
(b) Integrando em relação a :
Á

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