Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada por quatro curvas:
,
,
e
. Vamos usar integrais para calcular essa área de duas maneiras diferentes: integrando em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender como as funções se comportam e onde elas se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar rapidamente os gráficos dessas curvas para visualizar a região que queremos calcular. A curva
é uma parábola que abre para cima,
é uma reta que desce, e
e
são linhas verticais. Vendo isso, podemos perceber que a região fica entre
e
, e entre as curvas
e
.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as somas de integrais integrando em relação a
. Para isso, precisamos identificar qual função está no topo e qual está embaixo no intervalo de
a
. Observando as funções,
está acima de
nesse intervalo. A área pode ser calculada pela integral da diferença das funções:
Simplificando dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos estabelecer as somas de integrais integrando em relação a
. Para isso, precisamos reescrever as equações em função de
. A função
vira
e
vira
. Precisamos encontrar os limites de
onde essas curvas se intersectam.
Passo 5
Para encontrar os limites de
, igualamos
e
. Substituindo
de uma equação na outra:
Como
deve ser real, resolvemos:
Portanto,
ou
. Isso significa que os limites de
vão de
a
.
Passo 6
Com os limites de
definidos, podemos agora expressar a área integrando em relação a
. Precisamos identificar qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de
a
. A função
está à direita de
nesse intervalo. A área é então:
Simplificando dentro da integral:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é dada por:
(a) Integrando em relação a
:
(b) Integrando em relação a
:
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.
Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.