Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a área entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
de
a
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as funções que estamos lidando. A função
é um polinômio de terceiro grau que forma um gráfico curvo, enquanto
é uma linha reta horizontal. Queremos saber a área entre essas duas curvas no intervalo de
a
.
Passo 3
Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções. Isso significa que vamos integrar
de
a
:
Isso nos dará a área entre as duas curvas nesse intervalo.
Passo 4
Substituindo as funções na fórmula, temos:
Simplificamos subtraindo
de
.
Passo 5
Agora, vamos integrar a função
em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região entre os gráficos de
e
no intervalo de
a
é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.
Ache a área da região entre os gráficos de
e
para
restrito ao intervalo dado.
Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo: