Ache a área da região entre os gráficos de e para restrito ao intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a área entre os gráficos das funções e no intervalo de de a . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as funções que estamos lidando. A função é um polinômio de terceiro grau que forma um gráfico curvo, enquanto é uma linha reta horizontal. Queremos saber a área entre essas duas curvas no intervalo de a .

Passo 3

Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções. Isso significa que vamos integrar de a :
Á
Isso nos dará a área entre as duas curvas nesse intervalo.

Passo 4

Substituindo as funções na fórmula, temos:
Á
Simplificamos subtraindo de .

Passo 5

Agora, vamos integrar a função em relação a :
Aqui, é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área.

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de a :
Á

Passo 7

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região entre os gráficos de e no intervalo de a é igual a unidades de área.

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